Studio e grafico di una funzione con valore assoluto

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Studio e grafico di una funzione con valore assoluto #93206

avt
Gnlc
Punto
Mi spiegate come effettuare lo studio di questa funzione fratta con valore assoluto?

f(x)=\frac{x-3}{\ln(|x-3|)}

Devo determinare dominio, studio del segno, asintoti, monotonia, punti di massimo e minimo relativi e assoluti, derivata seconda, punti di flesso, concavità e convessità.

Insomma, uno studio di funzione completo con grafico, con particolare attenzione sullo studio del segno che mi crea parecchie difficoltà.

Grazie in anticipo per la risposta!
 
 

Re: Studio e grafico di una funzione con valore assoluto #93257

avt
Ifrit
Amministratore
Eccoci!

Obiettivo: eseguire uno studio completo della funzione fratta con logaritmo e con valore assoluto

f(x)=\frac{x-3}{\ln(|x-3|)}

Come ogni buono studio di funzione che si rispetti, bisogna partire dal dominio.

Dominio di f(x)

Il dominio di f(x) si determina imponendo la condizione di esistenza del logaritmo il quale pretende che il suo argomento sia maggiore di 0, inoltre è presente un denominatore, il quale deve essere diverso da zero affinché la frazione abbia senso.

Le due condizioni di esistenza devono essere soddisfatte contemporaneamente ecco perché vanno inserite in un sistema:

\begin{cases}|x-3|>0&\mbox{ c.e. logaritmo}\\ \ln(|x-3|)\ne 0&\mbox{ c.e. frazione}\end{cases}

Ok, a questo punto non ci resta che risolvere separatamente le disequazioni e intersecare i loro insiemi soluzione.

Risolviamo la disequazione con valore assoluto:

|x-3|>0

Ricordiamo a questo punto che un valore assoluto è positivo o al più nullo, ed in particolare è zero se e solo se il suo argomento è zero.

Detto questo, facciamo attenzione alla richiesta: la disequazione |x-3|>0 ci sta chiedendo di determinare i valori di x per cui |x-3| è positivo e NON nullo e ciò avviene se e solo se l'argomento è diverso da zero ossia:

x-3\ne 0\implies x\ne 3

Per quanto riguarda l'equazione logaritmica

\ln(|x-3|)\ne 0

possiamo risolverla applicando membro a membro l'esponenziale ed ottenere l'equazione equivalente

|x-3|\ne 1\implies x-3\ne -1\vee x-3\ne 1

da cui

x\ne 2\vee x\ne 4

Orbene, abbiamo determinato gli insiemi soluzione delle due disequazioni, non ci resta che intersecarli così da ottenere il dominio di f(x):

\mbox{dom}(f)=\mathbb{R}-\{2, 3, 4\}

che possiamo scrivere mediante l'uso degli intervalli come segue

\mbox{dom}(f)=(-\infty,2)\cup(2,3)\cup(3, 4)\cup (4, +\infty)

Il dominio ora è a posto.

Osserviamo che \mbox{dom}(f) non è simmetrico rispetto all'origine per cui non è necessario controllare la parità o la disparità della funzione: f(x) non è né pari né dispari (per approfondire funzioni pari e dispari).

Studio del segno della funzione

Lo studio del segno della funzione ci permette di determinare gli intervalli in cui la funzione è positiva e quelli in cui essa è negativa.

Bisogna però stare attenti anche ai valori che annullano f(x), essi sono infatti le ascisse dei punti di intersezione con l'asse delle x.

Impostiamo dunque la disequazione fratta

f(x)\ge 0\iff \frac{x-3}{\ln(|x-3|)}\ge 0

e studiamo separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore, tenendo sempre a mente il dominio di f(x).

Lo studio del segno del numeratore conduce ad una semplicissima disequazione di primo grado

x-3\ge 0\implies x\ge 3

Lo studio del segno del denominatore invece conduce ad una disequazione logaritmica con valore assoluto

\ln(|x-3|)\ge 0

che possiamo risolvere applicando membro a membro la funzione esponenziale e sfruttando la definizione stessa di logaritmo

e^{\ln(|x-3|)}\ge e^{0} \ \ \ (*)

Dalla definizione logaritmo si ha che e^{\ln(|x-3|)}=|x-3| mentre e^{0}=1 come tutte le potenze alla zero.

Grazie a queste osservazioni la disequazione (*) diventa

|x-3|\ge 1\iff x-3\le -1\vee x-3\ge 1\iff x\le 2\vee x\ge 4

Abbiamo a disposizione tutti gli elementi per rappresentare i segni di ciascun fattore e creare la cosiddetta tabella dei segni:

\begin{matrix}N&:&---&(2)&---&(3)&+++&(4)&+++ \\ \\ D&:&+++&(2)&---&(3)&---&(4)&+++ \\ \\ \frac{N}{D}&:&---&(2)&+++&(3)&---&(4)&+++\end{matrix}

In base alla tabella scopriamo che f(x) è:

- positiva per 2<x<3\vee x>4;

- negativa per x<2\vee 3<x<4.

mentre non si annulla per alcun valore di x di conseguenza non vi sono intersezioni con l'asse x.

Attenzione, poiché 0\in\mbox{dom}(f) abbiamo certamente un punto di intersezione tra l'asse delle ordinate e il grafico di f(x). Per determinarlo è sufficiente risolvere il sistema:

\begin{cases}\displaystyle y=\frac{x-3}{\ln(|x-3|)} \\ \\ \displaystyle x=0\end{cases}

che ha per soluzione x=0, \ y= \frac{-3}{\ln(3)} (è sufficiente sostituire al posto della x nella funzione il valore 0).


Limiti e asintoti

Dedichiamoci al calcolo dei limiti agli estremi del dominio e alla classificazione degli eventuali asintoti.

Per semplificarci il compito espandiamo il valore assoluto così da esprimere la funzione per casi:

f(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{x-3}{\ln(x-3)}&\mbox{ se }x>3\\  \\ \displaystyle\frac{x-3}{\ln(3-x)}&\mbox{ se }x<3\end{cases}\ \ \ \ \ \mbox{ con }x\in\mbox{dom}(f)

e cominciamo con il limite per x\to -\infty

\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{x-3}{\ln(3-x)}=\left[\frac{-\infty}{+\infty}\right]

Nota: abbiamo scelto il secondo ramo della funzione perché x\to -\infty di conseguenza la variabile x sarà prima o poi minore di 3.

Siamo di fronte ad una forma indeterminata \left[\frac{-\infty}{+\infty}\right] che possiamo affrontare mediante gli ordini di infinito e concludere immediatamente che il limite è -\infty perché il logaritmo è un infinito di ordine inferiore rispetto alla potenza.

Possiamo scrivere dunque che

\lim_{x\to -\infty}\frac{x-3}{\ln(3-x)}=-\infty

Poiché il limite non è finito vi è la possibilità che ci sia un asintoto obliquo sinistro e affinché questa possibilità diventi realtà dobbiamo analizzare due limiti:

m=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}

che definisce il coefficiente angolare m (deve essere finito e diverso da zero!) e

q=\lim_{x\to -\infty}(f(x)-mx)

che definisce l'ordinata all'origine q dell'asintoto obliquo.

Consideriamo quindi:

m=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=

sostituiamo f(x) stando attenti a scegliere la legge corretta

=\lim_{x\to -\infty}\frac{\frac{x-3}{\ln(3-x)}}{x}=

e scriviamo in forma normale la frazione di frazioni

=\lim_{x\to -\infty}\frac{x-3}{x\ln(3-x)}=

Ancora una volta siamo di fronte ad una forma indeterminata che può essere affrontata mediante un trucchetto algebrico

\\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{x-3}{x}\cdot\frac{1}{\ln(3-x)}= \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{x-3}{x}\cdot\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\ln(3-x)}=1\cdot 0=0

Il limite è zero, valore che m non può assumere, dunque possiamo asserire che non vi è asintoto obliquo sinistro.

Occupiamoci del limite per x\to 2 da destra e da sinistra.

Per il limite destro abbiamo che:

\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-3}{\ln(3-x)}=\left[\frac{-1}{0^{-}}\right]=+\infty

mentre per il limite sinistro

\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x-3}{\ln(3-x)}=\left[\frac{-1}{0^{+}}\right]=-\infty

Approfondimento: per il segno da attribuire a \infty dovremo rifarci al segno della funzione ed essere coerenti con i risultati che abbiamo ottenuto.

Cosa significa? Abbiamo visto che per x<2 la funzione è negativa, di conseguenza il limite x\to 2^{-} non può essere positivo, così come per 2<x<3 la funzione è positiva conseguentemente il limite per x\to 2^{+} non può essere negativo (questo ragionamento deriva dal teorema sulla permanenza del segno).

Ad ogni modo i due limiti appena calcolati ci assicurano la presenza di un asintoto verticale di equazione x=2.

Dedichiamoci ora al calcolo del limite per x\to 3, da destra e da sinistra:

\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x-3}{\ln(3-x)}=\left[\frac{0}{-\infty}\right]=0

Attenzione non è una forma indeterminata, come non presenta una forma indeterminata il limite destro:

\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}\frac{x-3}{\ln(x-3)}=\left[\frac{0}{+\infty}\right]=0

Il limite destro e il limite sinistro esistono finiti e coincidono dunque x=0 è un punto di discontinuità eliminabile: è sufficiente definire f(x) anche nel punto x=3 ponendo f(3)=0 per eliminare la singolarità.

Occupiamoci ora del limite per x\to 4 da destra e da sinistra, stando ovviamente attenti alla scelta sul ramo.

\lim_{x\to 4^{+}}f(x)=\lim_{x\to 4^{+}}\frac{x-3}{\ln(x-3)}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty

mentre

\lim_{x\to 4^{-}}f(x)=\lim_{x\to 4^{-}}\frac{x-3}{\ln(x-3)}=\left[\frac{1}{0^{-}}\right]=-\infty

I due limiti assicurano che la funzione presenta un ulteriore asintoto verticale di equazione x=4.

Occupiamoci dell'ultimo limite

\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x-3}{\ln(x-3)}=+\infty

Possiamo giustificare il risultato asserendo che x-3 è un infinito di ordine superiore rispetto a \ln(x-3).

Vi è la possibilità che ci sia un asintoto obliquo destro, ma il limite che ne definisce il coefficiente angolare è zero

\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x-3}{x\ln(x-3)}=0

e ... niente, non ci sono asintoti obliqui, così come non ci sono asintoti orizzontali.

Calcolo della derivata prima

Ci tocca calcolare la derivata prima, il cui studio del segno ci fornirà quelli che in gergo si chiamano intervalli di monotonia, ossia gli intervalli in cui f(x) è una funzione crescente. Non mettiamo troppa carne al fuoco e occupiamoci del calcolo nudo e crudo della derivata.

Per calcolare la derivata prima di f(x) è sufficiente derivare ciascun ramo di f(x) utilizzando le regole di derivazione necessarie: interverranno in particolare la formula di derivazione del quoziente e in un secondo momento la regola per la derivata di una funzione composta.

f'(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{D[x-3]\ln(x-3)-(x-3)\cdot D[\ln(x-3)]}{\ln^2(x-3)}&\mbox{ se }x>3 \\ \\ \displaystyle\frac{D[x-3]\ln(3-x)-(x-3)D[\ln(3-x)]}{\ln^2(3-x)}&\mbox{ se }x<3\end{cases}

Tenendo a mente la derivata del logaritmo o ancora meglio la tabella delle derivate fondamentali possiamo asserire che la derivata prima vale:

f'(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\ln(x-3)-(x-3)\cdot \frac{1}{x-3}}{\ln^2(x-3)}&\mbox{ se }x>3 \\ \\ \displaystyle\frac{\ln(3-x)-(x-3)\cdot\frac{-1}{3-x}}{\ln^2(3-x)}&\mbox{ se }x<3\end{cases}

Eseguiamo le dovute semplificazioni così che la derivata prima si possa esprimere come

f'(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\ln(x-3)-1}{\ln^2(x-3)}&\mbox{ se }x>3 \\ \\ \displaystyle\frac{\ln(3-x)-1}{\ln^2(3-x)}&\mbox{ se }x<3\end{cases}

Il calcolo è concluso.

Studio del segno della derivata prima e monotonia

Ora possiamo dedicarci allo studio del segno della derivata prima impostando la disequazione

f'(x)\ge 0 \ \ \ \ (\bullet)

e tenendo conto dell'intervallo sui cui lavoriamo.

Se x>3 la disequazione (\bullet) diventa

\frac{\ln(x-3)-1}{\ln^2(x-3)}\ge 0

Osserviamo che il denominatore è sempre positivo nel dominio, di conseguenza il segno del quoziente dipende esclusivamente dal segno del numeratore:

\ln(x-3)-1>0\iff \ln(x-3)>1

Naturalmente utilizziamo la tecnica vista prima, ossia applichiamo membro a membro l'esponenziale

x-3>e\implies x>3+e

Tenendo conto del dominio di f(x), possiamo quindi asserire che il primo ramo della derivata è:

- positivo per x>3+e;

- negativo per 3<x<4 e per 4<x<3+e;

- nullo per x=0.


Se x<3 la disequazione (\bullet) diventa

\frac{\ln(3-x)-1}{\ln^2(3-x)}>0

Come prima osserviamo che, essendo un quadrato, il denominatore è sempre positivo nel dominio di f(x) di conseguenza il segno del quoziente dipende esclusivamente dal segno del numeratore

\ln(3-x)-1>0\iff \ln(3-x)>1\iff 3-x>e

da cui x<3-e.

Possiamo asserire quindi che il secondo ramo della derivata prima è

- positiva per x<3-e;

- nulla per x=3-e;

- negativa per 3-e<x<2 e per 2<x<3.

Ora abbiamo tutte le informazioni necessarie per studiare la monotonia di f(x). In base al segno della derivata prima e ai valori che l'annullano possiamo asserire che f(x):

- è strettamente crescente negli intervalli (-\infty, 3-e)\mbox{ e }(3+e, +\infty);

- è strettamente decrescente negli intervalli (3-e, 2)\mbox{ e }(2,3)\mbox{ e }(3, 4)\mbox{ e }(4, 3+e);

- ha un punto di massimo relativo per x=3-e, il massimo associato è f(3-e)=-e, ossia coincide con il valore che la funzione di partenza assume nel punto di massimo relativo.

- ha un punto di minimo relativo per x=3+e, il minimo associato è f(3+e)=e, ossia coincide con il valore che la funzione di partenza assume nel punto di minimo relativo.

Domanda: siamo sicuri che i valori in questione non siano in realtà massimi e minimi assoluti? La risposta è sì, siamo sicuri. Dallo studio dei limiti abbiamo scoperto che f(x) è una funzione illimitata ergo non ci possono essere punti di massimo e di minimo assoluti: quelli trovati sono punti di massimo e di minimo locali (per approfondire - distinguere massimi e minimi assoluti da quelli relativi).

Abbiamo estrapolato tutte le informazioni possibili dalla derivata prima che ha esaurito il suo ruolo.

Calcolo della derivata seconda

Ora tocca alla derivata seconda che si calcola derivando la derivata prima (se vuoi approfondire - derivate di ordine superiore)

f''(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{D[\ln(x-3)-1]\ln^2(x-3)-(\ln(x-3)-1)\cdot D[\ln^2(x-3)]}{\ln^4(x-3)}&\mbox{ se }x>3\\ \\ \displaystyle\frac{D[\ln(3-x)-1]\cdot\ln^2(3-x)-(\ln(3-x)-1)D[\ln^2(3-x)]}{\ln^4(3-x)}&\mbox{ se }x<3\end{cases}

Bisogna eseguire con molta calma i calcoli. Osserviamo che le derivate che sono presenti nel primo ramo sono essenzialmente 2 e sono:

\\ D[\ln(x-3)-1]=D[\ln(x-3)]-D[1]=\frac{1}{x-3} \\ \\ D[\ln^2(x-3)]=2\ln(x-3)\cdot\frac{1}{x-3}=\frac{2\ln(x-3)}{x-3}

mentre le derivate del secondo ramo sono:

\\ D[\ln(3-x)-1]=D[\ln(3-x)]-D[1]=-\frac{1}{3-x} \\ \\ D[\ln^2(3-x)]=2\ln(3-x)\cdot\frac{-1}{3-x}=-\frac{2\ln(3-x)}{3-x}

Sostituiamo le derivate appena calcolate nell'espressione così da ottenere

f''(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\frac{1}{x-3}\ln^2(x-3)-(\ln(x-3)-1)\cdot \frac{2\ln(x-3)}{x-3}}{\ln^4(x-3)}&\mbox{ se }x>3\\ \\ \displaystyle\frac{\frac{-1}{3-x}\cdot\ln^2(3-x)-(\ln(3-x)-1)\left(-\frac{2\ln(3-x)}{3-x}\right)}{\ln^4(3-x)}&\mbox{ se }x<3\end{cases}

Con pazienza e soprattutto con molta attenzione eseguiamo i calcoli e semplifichiamo tutto ciò che può essere semplificato in modo da ottenere l'espressione della derivata seconda:

f''(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{2-\ln(x-3)}{(x-3)\ln^3(x-3)}&\mbox{ se }x>3\\ \\ \displaystyle -\frac{2-\ln(3-x)}{(3-x)\ln^3(3-x)}&\mbox{ se }x<3\end{cases}

Mediante lo studio del segno della derivata seconda otteniamo informazioni importanti sulla concavità e convessità di f(x).

Imponiamo quindi la disequazione:

f''(x)\ge 0

e risolviamola tenendo sempre a mente sia il dominio di f(x) sia il ramo che andremo a studiare!

Se x>3 la disequazione f''(x)\ge 0 diventa:

\frac{2-\ln(x-3)}{(x-3)\ln^3(x-3)}\ge 0

e possiamo studiarla analizzando il segno di ciascun fattore. Il numeratore è probabilmente quello più delicato da studiare:

\\ 2-\ln(x-3)\ge 0\implies \\ \\ \implies  -\ln(x-3)\ge -2\implies \\ \\ \implies \ln(x-3)\le 2 \implies x-3\le e^{2}\implies x\le 3+e^{2}

Il denominatore è un prodotto formato da due fattori, il primo dei quali è mansueto

x-3>0\implies x>3

Il secondo richiede qualche passaggio in più ma nulla di trascendentale

\ln^3(x-3)>0\implies \ln(x-3)>0\implies x-3>1\implies x>4

Non ci resta che costruire la tabella dei segni e concludere che per x>3 la derivata seconda è:

- positiva per 4<x<3+e^{2};

- negativa per 3<x<4 e per x>3+e^{2};

- nulla per x=3+e^{2}.

Ok, manca poco alla fine dello studio di funzione, ci manca solo lo studio del segno del secondo ramo della derivata seconda. Per x<3 la disequazione f''(x)\ge 0 diventa

-\frac{2-\ln(3-x)}{(3-x)\ln^3(3-x)}\ge 0

Procedendo in modo del tutto analogo al caso precedente otteniamo abbastanza velocemente che per x<3 la derivata seconda f''(x) è:

- positiva per x<3-e^{2} e per 2<x<3;

- nulla per x=3-e^{2};

- negativa per 3-e^{2}<x<2.

Cosa dobbiamo fare a questo punto? Dobbiamo scrivere per bene gli intervalli in cui f(x) è concava e quelli in cui è convessa, tenendo conto ovviamente del segno di f''(x). La funzione di partenza f(x)

- è convessa in (-\infty, 3-e^{2}) e in (2,3) e in (4, 3+e^{2});

- è concava in (3-e^{2}, 2), in (3,4) e in (3+e^{2}, +\infty);

- ha un punto di flesso in x=3-e^{2} e in x=3+e^{2}.

Uno studio di funzione bello lungo ma che dà molte soddisfazioni. Un consiglio? Puoi utilizzare il tool per disegnare il grafico di funzione.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Gnlc
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