Esercizio: somma di una serie di potenze

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Esercizio: somma di una serie di potenze #93192

avt
Final
Punto
Ho problemi nel calcolo della somma di una serie di potenze in un esercizio di preparazione per l'esame.

Si consideri la seguente serie di potenze:

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1+2^n}{n}(x-1)^n

Trovare l'espressione della funzione f:I \rightarrow R somma della serie.

Per calcolare l'insieme di convergenza ho applicato il criterio del rapporto, e ho quindi identificato il raggio di convergenza, che è pari a R=\frac{1}{2}.

Per il teorema di convergenza delle serie di potenze si avrà che la serie converge puntualmente nell'intervallo \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

Studiando il comportamento della serie agli estremi di questo intervallo mi risulta che non sia soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di una serie, allora tali estremi non devono essere inclusi nell'intervallo di convergenza. Posso quindi affermare che l'insieme di convergenza è

I=\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)

Non so proprio come calcolare la somma della serie di potenze. Potreste darmi una mano?
Vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Esercizio: somma di una serie di potenze #93196

avt
Omega
Amministratore
Ciao Final,

abbiamo la serie di potenze

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^n}{n}(x-1)^n

e suppongo che il tuo sia un errore di battitura sull'indice di partenza, altrimenti la serie non sarebbe definita.

Le tue considerazioni relative al raggio di convergenza sono corrette solo in parte. La serie di potenze ha centro in x=1 e con il criterio di d'Alembert scopriamo che ha raggio di convergenza R=\frac{1}{2}.

Riguardo agli estremi dobbiamo considerare le serie numeriche

\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^n}{n}\left(\frac{1}{2}-1\right)^n\ \to\ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1+2^n}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n\\ \\ \\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^n}{n}\left(\frac{3}{2}-1\right)^n\ \to\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^n}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n

Entrambe le serie soddisfano la condizione necessaria di convergenza. Per vederlo ti basta applicare delle semplici stime asintotiche per successioni

\\ (-1)^n\frac{1+2^n}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n\sim_{n\to +\infty}(-1)^n\frac{2^n}{n\cdot 2^n}\to 0\\ \\ \\ \frac{1+2^n}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n\sim_{n\to +\infty}\frac{2^n}{n\cdot 2^n}\to 0

Riguardo alla prima serie puoi provare che converge con il criterio di Leibniz.

Per la seconda puoi applicare il criterio del confronto asintotico e ridurre la serie alla serie armonica, che è notoriamente divergente.

La serie di potenze converge puntualmente nell'intervallo

\frac{1}{2}\leq x <\frac{3}{2}

Dalla teoria della serie di potenze sappiamo automaticamente che la serie di potenze converge uniformemente in qualsiasi intervallo della forma

\frac{1}{2}\leq x <\frac{3}{2}-k\ \mbox{con }0<k<R

Calcolo della somma della serie

Per calcolare la somma della serie di potenze dobbiamo inevitabilmente affidarci alle serie con somme note. Qui, di norma, gli sviluppi di Taylor-Mac Laurin la fanno da padroni... ma non sempre.

Scriviamo la serie di potenze nella forma

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^n}{n}(x-1)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n(x-1)^n}{n}=

e ancora, applicando le proprietà delle potenze, come

=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2(x-1))^n}{n}

Ragioniamo separatamente sulle due serie risultanti: è facile vedere che esse convergono uniformemente sull'intervallo sopraindicato. Tale osservazione ci permette di ricorrere al teorema di derivazione per serie di potenze

F_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n}

Deriviamo

F_1'(x)=\frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n}

e portiamo l'operatore di derivazione sotto il simbolo di sommatoria

F_1'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}\left(\frac{(x-1)^n}{n}\right)

Otteniamo così

F_1'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n(x-1)^{n-1}}{n}

ossia

F_1'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(x-1)^{n-1}

Quella che abbiamo ricavato è una serie geometrica di ragione q=x-1, non completa, la cui somma è facile da calcolare. Per comodità trasliamo gli indici

\\ F_1'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(x-1)^{n}=\frac{1}{1-(x-1)}=\frac{1}{2-x}

Ora possiamo determinare la somma della serie F_1(x) per integrazione

F_1(x)=\int\frac{1}{2-x}dx=-\log|2-x|+c

Per determinare la costante additiva possiamo ragionare sul centro della serie di potenze. Abbiamo

F_1(1)=0

e quindi valutando l'estremo destro in x=1 e imponendo che sia uguale a zero

-\log|2-1|+c=0\ \to\ c=0

per cui la somma della prima serie di potenze è

F_1(x)=\int\frac{1}{2-x}dx=-\log|2-x|

Nelle nostre ipotesi il valore assoluto non è necessario:

F_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n}=-\log(2-x)


Per la seconda serie di potenze

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2(x-1))^n}{n}

conviene effettuare un cambio di variabile: y=2(x-1)

F_2(y)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^n}{n}

Ragionando in modo analogo rispetto al caso precedente ricaviamo

F'_2(y)=\sum_{n=1}^{\infty}y^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}y^{n}=\frac{1}{1-y}

e per integrazione

F_2(y)=-\log|1-y|

Da cui arriviamo a

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2(x-1))^n}{n}=-\log(3-2x)

È fatta: la somma della serie di potenze proposta inizialmente è data da

\\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2^n}{n}(x-1)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2(x-1))^n}{n}=\\ \\ \\ =-\log(2-x)-\log(3-2x)
Ringraziano: CarFaby, Final

Esercizio: somma di una serie di potenze #93201

avt
Final
Punto
Grazie mille per la risposta.

Per quanto riguarda l'indice di partenza della serie, sì, è stato un errore di battitura accidentalmente commesso.

Mi sono chiare le correzioni riguardanti il primo punto, purtroppo alle volte faccio fatica a calcolare alcuni limiti (magari mi sembra di averli svolti al meglio, invece sono sbagliati). Nella condizione necessaria di convergenza, per esempio, mi sembrava che il limite non esistesse in entrambi i casi.

Per quanto riguarda la seconda parte dell'esercizio credevo fosse molto più semplice, più che altro perché non ci è mai capitato di analizzare un caso così complesso durante le esercitazioni guidate (il testo dell'esercizio è preso dall'ultima prova intermedia per essere esonerati dallo scritto).

Se avrò ulteriori dubbi ti farò sapere, ma mi sembra tutto abbastanza chiaro ora come ora.

Grazie ancora!
Ringraziano: Omega
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Os