Derivata direzionale come generalizzazione della derivata prima

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Derivata direzionale come generalizzazione della derivata prima #93143

avt
luca.marconi
Visitatore
Ho un dubbio riguardo la relazione che intercorre tra derivata ordinaria per funzioni a singola variabile e derivata direzionale. Provo a spiegarmi nel dettaglio.

Immaginiamo di voler calcolare la derivata della funzione f(x) rispetto a ax, dove a è una costante.

Applicando la regola di derivazione a catena, penso di poter affermare che

\frac{df}{dx}=\frac{df}{d(ax)}\frac{d(ax)}{dx}=\frac{df}{d(ax)}a

e quindi

\frac{df}{d(ax)}=\frac{1}{a}\frac{df}{dx}

Visto che la derivata direzionale mi è stata presentata come una generalizzazione della derivata ordinaria, mi aspetto di trovare lo stesso risultato anche risolvendo il problema come derivata direzionale, in particolare rispetto alla direzione \underline{v}=a\hat{\underline{x}} dove \hat{\underline{x}} è il versore dell'asse x.

Ma applicando la regola del gradiente (ipotizzando che f(x) sia differenziabile) quello che ottengo è

\nabla[f(x)]\cdot\frac{\underline{v}}{|\underline{v}|}=\nabla[f(x)]\cdot\frac{a\hat{\underline{x}}}{a}=\nabla[f(x)]\cdot\hat{\underline{x}}=\frac{df(x)}{dx}.

In pratica, l'espressione ricavata con la regola della catena mi dice che la funzione varia rispetto ad ax con una certa velocità, mentre l'espressione ricavata con il concetto di derivata direzionale mi dice che la funzione varia con un'altra velocità, e questo mi pare in contraddizione col dire "la derivata direzionale è una generalizzazione della derivata ordinaria".

Dove sbaglio nel mio ragionamento?
 
 

Derivata direzionale come generalizzazione della derivata prima #93145

avt
Omega
Amministratore
Ciao Luca,

il consiglio che mi sento di darti è di fare una bella tabula rasa perché le tue considerazioni sono sbagliate alla fonte.

Prima di tutto mi limito a rispondere alla domanda "qual è la relazione che intercorre tra la derivata per funzioni a una variabile e derivata direzionale?" tralasciando tutte le tue osservazioni.

La derivata direzionale è una generalizzazione del concetto di derivata per funzioni dipendenti da due o più variabili e a valori reali.

Facciamo riferimento per semplicità al caso di funzioni a due variabili

f:A\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}

Nel caso di funzioni ad una variabile f:I\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ y=f(x) la definizione di derivata in un punto x_0 prevede di considerare il limite del rapporto incrementale

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Per definire la derivata direzionale in un punto P=(x_0,y_0) dobbiamo considerare una direzione rappresentata da un versore (!!!) v=(v_1,v_2) e calcolare il limite

\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} (x_0,y_0)= \lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t v_1, y_0+t v_2)-f(x_0,y_0)}{t}

La derivata direzionale estende il concetto di derivata mutuandone la logica, ma per farlo bisogna tenere conto che l'incremento per le funzioni a due variabili può essere calcolato lungo infinite possibili direzioni, mentre in una variabile la direzione è una sola.

In una variabile il problema della direzione non si pone, perché la direzione è imposta dall'ordinamento dei numeri reali.

In due variabili se consideriamo un punto P=(x,y) nel piano Oxy possiamo muoverci in infinite direzioni.

Come puoi vedere dai due limiti l'idea per valutare l'incremento che la funzione presenta a partire dal punto è la stessa

\\ f(x_0+h)-f(x_0)\\ \\ f(x_0+t v_1, y_0+t v_2)-f(x_0,y_0)

e in questo senso il concetto di derivata direzionale estende la nozione di derivata prima.

---

Tutte le precedenti osservazioni vengono trattate nel dettaglio nelle relative lezioni, ora vorrei passare a commentare le tue osservazioni.


1) Vorrei farti notare che non ha senso scrivere

\frac{df}{dx}=\frac{df}{d(ax)}\frac{d(ax)}{dx}=\frac{df}{d(ax)}a

perché non puoi applicare a capocchia le regole algebriche sulla notazione della derivata.

Inoltre non ha senso voler derivare rispetto ad ax; al più avrebbe senso effettuare un cambio di variabile mediante un'opportuna composizione di funzioni e applicare i teoremi per la derivata della funzione composta e per la derivata della funzione inversa.

Ma sono piuttosto convinto che tutto questo non ti serva, perché ti sei sostanzialmente posto le domande sbagliate.


2) Tra le richieste nella definizione di derivata direzionale si parla di versore. Non ha senso parlare di derivata direzionale lungo la direzione rappresentata da un vettore di norma non unitaria, perché per definizione bisogna lavorare con un vettore di norma unitaria.


Al di là degli errori concettuali che ti ho segnalato, mi sembra che tu abbia cercato di fare un parallelo tra ax e \underline{v}=a\hat{\underline{x}} , il che aggiungerebbe un ulteriore livello di errore.
Ricontrolla le definizioni ed il ruolo che rivestono le variabili indipendenti, e ricorda che il versore in una derivata direzionale serve ad individuare la direzione lungo cui valutare l'incremento della funzione: il versore non è una variabile indipendente.
Ringraziano: Galois, CarFaby

Re: Derivata direzionale come generalizzazione della derivata prima #93150

avt
luca.marconi
Visitatore
Innanzitutto grazie per la risposta dettagliata. In effetti mi rendo conto di aver tratto delle conclusioni senza i dovuti fondamenti. Mi riferisco in particolare al parallelo tra ax e a\hat{\underline{x}}; mi ero spinto ingenuamente a fare tale parallelo perchè avevo notato che derivare rispetto ad x in un certo punto corrispondeva a derivare in quello stesso punto nella direzione e verso indicata dal versore \hat{\underline{x}}, ma mi rendo conto adesso che questo non mi giustifica a dire che derivare rispetto a ax in un certo punto equivalga a derivare rispetto al vettore a\hat{\underline{x}} applicato nello stesso punto. Riguardo la derivazione ordinaria, non avevo intenzione di "giocare" algebricamente con i termini df,dx,d(ax), ecc...

Quello che volevo riportare (e che ho riportato male) era un ragionamento più vicino a quello che lei mi ha indicato, ossia: dato che

\\ f(x)=f\left(\frac{ax}{a}\right)=f[z(ax)]\\ \\ \mbox{con }z(ax)=\frac{ax}{a}

da qui applicare il teorema di derivazione della funzione composta

\frac{df[z(ax)]}{d(ax)}=\frac{df(z)}{dz}\frac{dz(ax)}{d(ax)}=\frac{df(z)}{dz}\frac{1}{a}

ed infine, essendo, z(ax)=x, concludere

\frac{df\left [ z\left ( ax \right ) \right ]}{d\left ( ax \right )} = \frac{df\left ( x \right )}{dx} \frac{1}{a}

Da ciò dedurrei che l'operazione di derivazione rispetto a ax possa avere un senso. Giusto?

Re: Derivata direzionale come generalizzazione della derivata prima #93151

avt
Omega
Amministratore
Ok per la prima parte del messaggio. emt

I problemi iniziano quando scrivi l'operatore \frac{d}{d(ax)}, che non ha senso.

Il problema è notazionale: come ho scritto in precedenza la derivata prima di una funzione va calcolata rispetto alla variabile di riferimento.

Se hai una funzione y=f(x) puoi effettuare un cambiamento di variabile z=ax, considerando la funzione

g(x)=ax

A questo punto consideri la funzione inversa g^{-1}. Per determinarne l'espressione analitica ti basta considerare

z=ax\ \to\ x=\frac{z}{a}

da cui si vede che

g^{-1}(z)=\frac{z}{a}

Per effettuare il cambio di variabile devi considerare la funzione composta

h(z)=f\circ g^{-1}=f(g^{-1}(z))

Esempio

f(x)=4x^2+8x

Per effettuare il cambio di variabile z=2x devi considerare la funzione composta

h(z)=f(g^{-1}(z))=4\left(\frac{z}{2}\right)^2+8\left(\frac{z}{2}\right)=z^2+4z

Nota che il risultato è lo stesso che avremmo ottenuto sostituendo nell'espressione della funzione z=2x

f(x)=4x^2+8x\ \to\ h(z)=z^2+4z

Ti faccio però notare che f,z sono a tutti gli effetti due funzioni diverse.

Tornando a noi, la relazione che lega le derivate di f e di h e la forma corretta per esprimerla è la seguente

h'(z)=\frac{d}{dz}[f(g^{-1}(z))]=

Applichiamo il teorema per la derivata della funzione composta

=f'(g^{-1}(z))\cdot \frac{d}{dz}[g^{-1}(z)]=

e, da ultimo, il teorema per la derivata della funzione inversa

=f'(g^{-1}(z))\cdot \frac{1}{g'(x)}

In sintesi

h'(z)=f'(g^{-1}(z))\cdot \frac{1}{g'(x)}

Tutto questo discorso vale ovviamente purché siano soddisfatte le ipotesi dei due teoremi.

Nel nostro caso è

g(x)=ax

dunque dalla regola di derivazione per il prodotto di una derivata per una costante

g'(x)=a

Dunque

h'(z)=f'(g^{-1}(z))\cdot \frac{1}{a}

che assomiglia molto alla formula che hai scritto alla fine del tuo messaggio, ma che in termini di notazioni è molto diversa.

Riprendiamo l'esempio precedente e calcoliamo

\frac{d}{dz}[z^2+4z]

Prima con le usuali regole di derivazione

\frac{d}{dz}[z^2+4z]=2z+4

Poi con la formula relativa al cambiamento di variabile

\\ h'(z)=f'(g^{-1}(z))\cdot \frac{1}{a}=\\ \\ =\frac{d}{dx}[4x^2+8x]_{x=g^{-1}(z)}\cdot \frac{1}{2}=\\ \\ =[8x+8]_{x=\frac{z}{2}}\cdot\frac{1}{2}=\\ \\ =\left[8\cdot \left(\frac{z}{2}\right)+8\right]\cdot =\frac{1}{2}=\\ \\ (4z+8)\cdot \frac{1}{2}=\\ \\ =2z+4

Questo è il modo rigoroso per scrivere il tuo ragionamento. emt
Ringraziano: Galois, CarFaby

Re: Derivata direzionale come generalizzazione della derivata prima #93157

avt
luca.marconi
Visitatore
Grazie mille! Adesso è tutto chiaro.
  • Pagina:
  • 1
Os