Equazione differenziale del secondo ordine con termine noto e^(2x)

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Equazione differenziale del secondo ordine con termine noto e^(2x) #92801

avt
Kecco96
Punto
Devo risolvere un'equazione differenziale a coefficienti costanti del secondo ordine con termine noto e^(2x) e mi sono intoppato proprio nella conclusione.

L'equazione è la seguente:

y''-4y = e^(2x)

Al penultimo passaggio la soluzione risulta:

y(x) = (c_1)/(e^(2x))+c_2e^(2x)+(1)/(16)(e^(2x)(4x-1))

E la soluzione finale risulta:

y(x) = (xe^(2x))/(4)+(c_1)/(e^(2x))+c_2e^(2x)

Non riesco a capire questo passaggio, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi?
 
 

Equazione differenziale del secondo ordine con termine noto e^(2x) #92806

avt
Omega
Amministratore
Ciao Kecco96,

ci sono diverse cose che non tornano in quello che hai scritto (in realtà, nulla :( ) e per non lasciare spazio ad alcun dubbio vediamo lo svolgimento completo dell'equazione differenziale.

Abbiamo un'equazione differenziale non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti

y''-4y = e^(2x)

Sappiamo che la soluzione generale è data dalla somma tra la famiglia di soluzioni dell'equazione omogenea associata ed una soluzione particolare.

Risolviamo l'equazione omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine associata

y''-4y = 0

e consideriamo l'equazione caratteristica

λ^2-4 = 0

Questa equazione di secondo grado ammette come soluzioni λ_1 = 2, λ_2 = -2.

Poiché abbiamo due radici reali e distinte, la famiglia di soluzioni dell'omogenea è della forma

y_O(x) = c_1e^(λ_1 x)+c_2e^(λ_2 x)

con c_1,c_2∈R costanti arbitrarie. Nel nostro caso

y_O(x) = c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)

Ora cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione non omogenea con il metodo di somiglianza.

Poiché il termine noto è della forma Q(x)e^(λ x) con Q(x) = 1 polinomio di grado zero e λ = 2 = λ_1 che coincide con una delle due soluzioni dell'equazione caratteristica, cerchiamo una soluzione particolare della forma

y_P(x) = xQ(x)e^(λ x)

con Q un polinomio del medesimo grado rispetto a Q, ossia un polinomio di grado zero, ossia un polinomio del tipo Q = k∈R.

In sintesi

y_P(x) = kxe^(2x)

Ora calcoliamo la derivata prima e applichiamo la regola per la derivata di un prodotto

y_P'(x) = ke^(2x)+kxe^(2x)·2 = (1+2x)ke^(2x)

Deriviamo nuovamente

y_P''(x) = 2ke^(2x)+(1+2x)2ke^(2x) = (2+2x)2ke^(2x)

A questo punto sostituiamo il tutto nell'equazione differenziale per determinare il valore di k

(2+2x)2ke^(2x)-4kxe^(2x) = e^(2x)

Semplificando i termini esponenziali passiamo a

4k+4kx-4kx = 1 → k = (1)/(4)

In definitiva la soluzione generale dell'equazione differenziale non omogenea è data da

y(x) = y_O(x)+y_P(x) = c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)+(1)/(4)xe^(2x)
Ringraziano: Galois, CarFaby
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