Equazione differenziale del secondo ordine con termine noto e^(2x)

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Equazione differenziale del secondo ordine con termine noto e^(2x) #92801

avt
Kecco96
Punto
Devo risolvere un'equazione differenziale a coefficienti costanti del secondo ordine con termine noto e^(2x) e mi sono intoppato proprio nella conclusione.

L'equazione è la seguente:

y''-4y=e^{2x}

Al penultimo passaggio la soluzione risulta:

y(x)=\frac{c_1}{e^{2x}}+c_2e^{2x}+\frac{1}{16}(e^{2x}(4x-1))

E la soluzione finale risulta:

y(x)=\frac{xe^{2x}}{4}+\frac{c_1}{e^{2x}}+c_2e^{2x}

Non riesco a capire questo passaggio, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi?
 
 

Equazione differenziale del secondo ordine con termine noto e^(2x) #92806

avt
Omega
Amministratore
Ciao Kecco96,

ci sono diverse cose che non tornano in quello che hai scritto (in realtà, nulla :( ) e per non lasciare spazio ad alcun dubbio vediamo lo svolgimento completo dell'equazione differenziale.

Abbiamo un'equazione differenziale non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti

y''-4y=e^{2x}

Sappiamo che la soluzione generale è data dalla somma tra la famiglia di soluzioni dell'equazione omogenea associata ed una soluzione particolare.

Risolviamo l'equazione omogenea a coefficienti costanti del secondo ordine associata

y''-4y=0

e consideriamo l'equazione caratteristica

\lambda^2-4=0

Questa equazione di secondo grado ammette come soluzioni \lambda_1=2,\ \lambda_2=-2.

Poiché abbiamo due radici reali e distinte, la famiglia di soluzioni dell'omogenea è della forma

y_O(x)=c_1e^{\lambda_1 x}+c_2e^{\lambda_2 x}

con c_1,c_2\in\mathbb{R} costanti arbitrarie. Nel nostro caso

y_O(x)=c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}

Ora cerchiamo una soluzione particolare dell'equazione non omogenea con il metodo di somiglianza.

Poiché il termine noto è della forma Q(x)e^{\lambda x} con Q(x)=1 polinomio di grado zero e \lambda=2=\lambda_1 che coincide con una delle due soluzioni dell'equazione caratteristica, cerchiamo una soluzione particolare della forma

y_P(x)=x\overline{Q}(x)e^{\lambda x}

con \overline{Q} un polinomio del medesimo grado rispetto a Q, ossia un polinomio di grado zero, ossia un polinomio del tipo \overline{Q}=k\in\mathbb{R}.

In sintesi

y_P(x)=kxe^{2x}

Ora calcoliamo la derivata prima e applichiamo la regola per la derivata di un prodotto

\\ y_P'(x)=ke^{2x}+kxe^{2x}\cdot 2=\\ \\ =(1+2x)ke^{2x}

Deriviamo nuovamente

\\ y_P''(x)=2ke^{2x}+(1+2x)2ke^{2x}=\\ \\ =(2+2x)2ke^{2x}

A questo punto sostituiamo il tutto nell'equazione differenziale per determinare il valore di k

(2+2x)2ke^{2x}-4kxe^{2x}=e^{2x}

Semplificando i termini esponenziali passiamo a

4k+4kx-4kx=1\ \to\ k=\frac{1}{4}

In definitiva la soluzione generale dell'equazione differenziale non omogenea è data da

\\ y(x)=y_O(x)+y_P(x)=\\ \\ =c_1e^{2x}+c_2e^{-2x}+\frac{1}{4}xe^{2x}
Ringraziano: Galois, CarFaby
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Os