Risolvere un sistema non lineare con tre incognite

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Risolvere un sistema non lineare con tre incognite #92540

avt
RichardMaths
Punto
Potreste farmi vedere lo svolgimento di questo sistema non lineare con tre incognite?

\begin{cases}-\frac{b}{2a}=2 \\ \\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-1 \\ \\ -\frac{1+b^2-4ac}{4a}=3\end{cases}

Viene fuori dalla risoluzione del seguente problema sull'equazione della parabola con vertice e direttrice.

Devo risolvere le tre equazioni separatamente?
Grazie anticipatamente!
 
 

Risolvere un sistema non lineare con tre incognite #92544

avt
Galois
Coamministratore
Dobbiamo risolvere il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite:

\begin{cases}-\frac{b}{2a}=2 \\ \\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-1 \\ \\ -\frac{1+b^2-4ac}{4a}=3\end{cases}

Che possiamo riscrivere come:

\begin{cases} b=-4a \\ \\ \frac{b^2-4ac}{4a}=1 \\ \\ \frac{1}{4a}+\frac{b^2-4ac}{4a}=-3\end{cases}

Cos'ho fatto? Molto semplicemente, supponendo che a sia diverso da zero:

- nella prima equazione ho esplicitato b in funzione di a moltiplicando ambo i membri per -2a;

- nella seconda equazione ho moltiplicato ambo i membri per -1;

- nella terza equazione, dopo aver moltiplicato ambo i membri per -1, ho riscritto il primo termine come somma di due frazioni.

Dalla seconda relazione del sistema sappiamo che

\frac{b^2-4ac}{4a}=-1

e, sostituendo nella terza relazione vien fuori

\begin{cases} b=-4a \\ \\ \frac{b^2-4ac}{4a}=1 \\ \\ \frac{1}{4a}+1=-3\end{cases}

Dopo questa sostituzione nella terza equazione compare solo l'incognita a. Risolviamola:

\frac{1}{4a}+1=-3 \iff \frac{1}{4a}=-4 \iff 1=-16a \iff a = -\frac{1}{16}

Possiamo ora sostituire il valore di a nella prima relazione del sistema, ricavando così il valore dell'incognita b:

b=-4a = -4 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right) = \frac{1}{4}

Non ci rimane altro da fare se non sostituire i due valori nella seconda equazione del sistema precedente per ricavare così il valore che deve assumere l'incognita c.

\frac{b^2-4ac}{4a}=1 \iff \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^2-4 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right) \cdot c}{4 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right)}=1

Svolgiamo questi semplici calcoli puramente algebrici:

\\ \\ \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^2-4 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right) \cdot c}{4 \cdot \left(-\frac{1}{16}\right)}=1 \iff \frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}c}{-\frac{1}{4}}=1 \iff \\ \\ \\ -4\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{4}c\right)=1 \iff -\frac{1}{4}-c=1 \iff c= -\frac{1}{4}-1=-\frac{5}{4}

Pertanto il sistema è verificato per

\begin{cases}a=-\frac{1}{16} \\ b=\frac{1}{4} \\ c=-\frac{5}{4}\end{cases}

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, RichardMaths

Re: Risolvere un sistema non lineare con tre incognite #92549

avt
RichardMaths
Punto
Grazie! Magari sembra stupido ma era un problema di "lettura" non riuscivo ad abituarmi al delta scritto per esteso...

Grazie Ancora...
Ringraziano: Omega, Galois
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Os