Problema di Trigonometria con quadrato, semicirconferenza e incognita
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#92347
![]() gcappellotto47 Cerchio | Ho il seguente problema di Trigonometria ad una incognita x con un quadrato ed una semicirconferenza, che vorrei risolvere adeguatamente. Si abbia un quadrato ABCD di lato ![]() Grazie e saluti |
#92352
![]() Galois Amministratore | Quello da te proposto è un classico problema geometrico di trigonometria. La prima cosa da fare è rappresentare la situazione graficamente; disegniamo allora un quadrato di vertici A, B, C, D e, esternamente al quadrato, disegniamo una semicirconferenza di diametro AB. Prendiamo poi sulla semicirconferenza un punto P, congiungiamo P con tutti i vertici del quadrato e sia x la misura dell'angolo ![]() Dobbiamo determinare l'ampiezza dell'angolo x in modo che sia vera la seguente relazione: ![]() Procediamo! Dai dati forniti dal problema sappiamo che ![]() Inoltre il triangolo di vertici APB è un triangolo rettangolo in quanto triangolo inscritto in una semicirconferenza di cui conosciamo la misura dell'ipotenusa: e l'ampiezza di un angolo ![]() Applicando i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo ricavare immediatamente la misura dei due cateti: ![]() Focalizziamo ora la nostra attenzione sul triangolo di vertici PAD di cui, al momento, conosciamo la misura dei seguenti due lati ![]() e l'ampiezza dell'angolo ![]() Possiamo allora applicare il teorema di Carnot al triangolo PAD con lo scopo di ricavare la misura del lato PD in termini di x: ![]() Sostituendo i valori noti e ricordando che, per le formule degli angoli associati otteniamo ![]() Facciamo lo stesso identico discorso per il triangolo di vertici PBC del quale conosciamo ![]() Per ricavare l'ampiezza dell'angolo PBA è sufficiente ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e quindi da tale valore basta sottrarre l'ampiezza degli altri due. Applichiamo nuovamente il teorema di Carnot così da ricavare la misura del lato PC. ![]() Da cui, sostituendo e ricordando che otteniamo ![]() Abbiamo così ricavato in termini dell'incognita x tutti i lati che compaiono nell'equazione risolutiva fornita dal problema ![]() Non ci rimane altro da fare se non sostituire i valori trovati e risolvere l'equazione nell'incognita x. ![]() Raccogliamo opportunamente il fattore ![]() Dove nell'ultimo passaggio abbiamo diviso tutto per Siamo così ricaduti in un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno. Come ampiamente spiegato nella lezione del link, applichiamo la proprietà fondamentale della trigonometria e scriviamo il secondo membro in termini di seno e coseno ![]() Portiamo tutto a secondo membro ![]() e dividiamo per ![]() ![]() Con la sostituzione ![]() Applicando la formula risolutiva troviamo le due soluzioni ![]() Abbiamo così ottenuto due equazioni goniometriche elementari ![]() le quali, ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche, hanno come soluzione ![]() che indicano l'ampiezza che deve avere l'angolo Poiché x è l'ampiezza di un angolo interno di un triangolo ho omesso, volontariamente, la periodicità; È tutto! ![]() |
Ringraziano: Omega, CarFaby, gcappellotto47 |
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