Problema di Trigonometria con quadrato, semicirconferenza e incognita

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Problema di Trigonometria con quadrato, semicirconferenza e incognita #92347

avt
gcappellotto47
Cerchio
Ho il seguente problema di Trigonometria ad una incognita x con un quadrato ed una semicirconferenza, che vorrei risolvere adeguatamente.

Si abbia un quadrato ABCD di lato \ell, su un lato, esternamente al quadrato, costruire una semicirconferenza di diametro AB. Prendere un punto P sulla semicirconferenza e determinare l'angolo PAB=x, in modo che sia vera la relazione:

PD^2+PC^2=4(PA^2+PB^2)

Grazie e saluti
 
 

Problema di Trigonometria con quadrato, semicirconferenza e incognita #92352

avt
Galois
Coamministratore
Quello da te proposto è un classico problema geometrico di trigonometria.

La prima cosa da fare è rappresentare la situazione graficamente; disegniamo allora un quadrato di vertici A, B, C, D e, esternamente al quadrato, disegniamo una semicirconferenza di diametro AB.

Prendiamo poi sulla semicirconferenza un punto P, congiungiamo P con tutti i vertici del quadrato e sia x la misura dell'angolo \widehat{PAB}

semicirconferenza su quadrato


Dobbiamo determinare l'ampiezza dell'angolo x in modo che sia vera la seguente relazione:

PD^2+PC^2=4(PA^2+PB^2)

Procediamo!

Dai dati forniti dal problema sappiamo che

AB=BC=CD=AD=\ell

Inoltre il triangolo di vertici APB è un triangolo rettangolo in quanto triangolo inscritto in una semicirconferenza di cui conosciamo la misura dell'ipotenusa:

AB=\ell

e l'ampiezza di un angolo

\widehat{PAB}=x

Applicando i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo ricavare immediatamente la misura dei due cateti:

\\ PB=\ell \sin(x) \\ \\ PA = \ell \cos(x)

Focalizziamo ora la nostra attenzione sul triangolo di vertici PAD di cui, al momento, conosciamo la misura dei seguenti due lati

\\ PA=\ell \cos(x) \\ \\ AD=\ell

e l'ampiezza dell'angolo \widehat{PAD} che si ricava dalla somma tra l'angolo x e l'angolo \widehat{DAB} (che è un angolo retto), pertanto

\widehat{PAD}=90+x

Possiamo allora applicare il teorema di Carnot al triangolo PAD con lo scopo di ricavare la misura del lato PD in termini di x:

PD^2=PA^2+AD^2-2\cdot PA \cdot AD \cdot \cos (90+x)

Sostituendo i valori noti e ricordando che, per le formule degli angoli associati

\cos(90+x)=-\sin(x)

otteniamo

PD^2=\ell^2\cos^2(x)+\ell^2+2\ell^2\cos(x)\sin(x)

Facciamo lo stesso identico discorso per il triangolo di vertici PBC del quale conosciamo

\\ PB=\ell \sin(x) \\ \\ BC=\ell \\ \\ \widehat{PBC}=\widehat{PBA}+90=(180-90-x)+90=(90-x)+90=180-x

Per ricavare l'ampiezza dell'angolo PBA è sufficiente ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e quindi da tale valore basta sottrarre l'ampiezza degli altri due.

Applichiamo nuovamente il teorema di Carnot così da ricavare la misura del lato PC.

PC^2=PB^2+BC^2-2\cdot PB \cdot BC \cdot \cos (180-x)

Da cui, sostituendo e ricordando che

\cos(180-x)=-\cos(x)

otteniamo

PC^2=\ell^2\sin^2(x) + \ell^2 + 2\ell^2 \sin(x)\cos(x)

Abbiamo così ricavato in termini dell'incognita x tutti i lati che compaiono nell'equazione risolutiva fornita dal problema

PD^2+PC^2=4(PA^2+PB^2)

Non ci rimane altro da fare se non sostituire i valori trovati e risolvere l'equazione nell'incognita x.

\\ \underbrace{\ell^2\cos^2(x)+\ell^2+2\ell^2\cos(x)\sin(x)}_{PD^2}+ \\ \\ \\ + \underbrace{\ell^2\sin^2(x) + \ell^2 + 2\ell^2 \sin(x)\cos(x)}_{PC^2} = \\ \\ \\ = 4 \underbrace{\left(\ell^2\cos^2(x)+\ell^2\sin^2(x)\right)}_{PA^2+PB^2}

Raccogliamo opportunamente il fattore \ell^2 ed applichiamo l'identità fondamentale della trigonometria

\\ \ell^2\left[cos^2(x)+\sin^2(x)\right]+2\ell^2+4\ell^2\cos(x)\sin(x)=4\ell^2\left[\sin^2+\cos^2(x)\right] \\ \\ \ell^2+2\ell^2+4\ell^2\cos(x)\sin(x)=4\ell^2 \\ \\ 4\ell^2 \cos(x)\sin(x)= \ell^2 \\ \\ 4\cos(x)\sin(x)=1

Dove nell'ultimo passaggio abbiamo diviso tutto per \ell^2 (quantità sicuramente diversa da zero in quanto misura del lato di un quadrato).

Siamo così ricaduti in un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno.

Come ampiamente spiegato nella lezione del link, applichiamo la proprietà fondamentale della trigonometria e scriviamo il secondo membro in termini di seno e coseno

4\cos(x)\sin(x)=\sin^2(x)+\cos^2(x)

Portiamo tutto a secondo membro

\sin^2(x)-4\cos(x)\sin(x)+\cos^2(x)=0

e dividiamo per cos^2(x)

\tan^2(x)-4\tan(x)+1=0

Con la sostituzione \tan(x)=y ricadiamo in un'equazione di secondo grado

y^2-4y+1=0

Applicando la formula risolutiva troviamo le due soluzioni

y_1=2-\sqrt{3} \mbox{ e } y_2=2+\sqrt{3}

Abbiamo così ottenuto due equazioni goniometriche elementari

\\ \tan(x)=2-\sqrt{3} \\ \\ \tan(x)=2+\sqrt{3}

le quali, ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche, hanno come soluzione

\\ x=\frac{\pi}{12} = 15^{\circ} \\ \\ \\ x=\frac{2}{5}\pi = 72^{\circ}

che indicano l'ampiezza che deve avere l'angolo \widehat{PAB} affinché valga la relazione data.

Poiché x è l'ampiezza di un angolo interno di un triangolo ho omesso, volontariamente, la periodicità;

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, gcappellotto47
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Os