Quello da te proposto è un classico
problema geometrico di trigonometria.
La prima cosa da fare è rappresentare la situazione graficamente; disegniamo allora un
quadrato di vertici A, B, C, D e, esternamente al quadrato, disegniamo una
semicirconferenza di
diametro AB.
Prendiamo poi sulla semicirconferenza un punto P, congiungiamo P con tutti i vertici del quadrato e sia x la misura dell'
angolo
Dobbiamo determinare l'ampiezza dell'angolo x in modo che sia vera la seguente relazione:
Procediamo!
Dai dati forniti dal problema sappiamo che
Inoltre il
triangolo di vertici APB è un
triangolo rettangolo in quanto triangolo inscritto in una semicirconferenza di cui conosciamo la misura dell'
ipotenusa:
e l'ampiezza di un angolo
Applicando i
teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo ricavare immediatamente la misura dei due
cateti:
Focalizziamo ora la nostra attenzione sul triangolo di vertici PAD di cui, al momento, conosciamo la misura dei seguenti due lati
e l'ampiezza dell'angolo

che si ricava dalla somma tra l'angolo x e l'angolo

(che è un
angolo retto), pertanto
Possiamo allora applicare il
teorema di Carnot al triangolo PAD con lo scopo di ricavare la misura del lato PD in termini di x:
Sostituendo i valori noti e ricordando che, per le
formule degli angoli associati
otteniamo
Facciamo lo stesso identico discorso per il triangolo di vertici PBC del quale conosciamo
Per ricavare l'ampiezza dell'angolo PBA è sufficiente ricordare che la
somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e quindi da tale valore basta sottrarre l'ampiezza degli altri due.
Applichiamo nuovamente il teorema di Carnot così da ricavare la misura del lato PC.
Da cui, sostituendo e ricordando che
otteniamo
Abbiamo così ricavato in termini dell'incognita x tutti i lati che compaiono nell'equazione risolutiva fornita dal problema
Non ci rimane altro da fare se non sostituire i valori trovati e risolvere l'equazione nell'incognita x.
Raccogliamo opportunamente il fattore

ed applichiamo l'identità fondamentale della trigonometria
Dove nell'ultimo passaggio abbiamo diviso tutto per

(quantità sicuramente diversa da zero in quanto misura del lato di un quadrato).
Siamo così ricaduti in un'
equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno.
Come ampiamente spiegato nella lezione del link, applichiamo la proprietà fondamentale della trigonometria e scriviamo il secondo membro in termini di
seno e coseno
Portiamo tutto a secondo membro
e dividiamo per
Con la sostituzione

ricadiamo in un'
equazione di secondo grado
Applicando la formula risolutiva troviamo le due soluzioni
Abbiamo così ottenuto due
equazioni goniometriche elementari
le quali, ricordando i
valori notevoli delle funzioni goniometriche, hanno come soluzione
che indicano l'ampiezza che deve avere l'angolo

affinché valga la relazione data.
Poiché x è l'ampiezza di un angolo interno di un triangolo ho omesso, volontariamente, la periodicità;
È tutto!
