Problema di Trigonometria con quadrato, semicirconferenza e incognita

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#92347
avt
gcappellotto47
Cerchio
Ho il seguente problema di Trigonometria ad una incognita x con un quadrato ed una semicirconferenza, che vorrei risolvere adeguatamente.

Si abbia un quadrato ABCD di lato ell, su un lato, esternamente al quadrato, costruire una semicirconferenza di diametro AB. Prendere un punto P sulla semicirconferenza e determinare l'angolo PAB = x, in modo che sia vera la relazione:

PD^2+PC^2 = 4(PA^2+PB^2)

Grazie e saluti
#92352
avt
Galois
Amministratore
Quello da te proposto è un classico problema geometrico di trigonometria.

La prima cosa da fare è rappresentare la situazione graficamente; disegniamo allora un quadrato di vertici A, B, C, D e, esternamente al quadrato, disegniamo una semicirconferenza di diametro AB.

Prendiamo poi sulla semicirconferenza un punto P, congiungiamo P con tutti i vertici del quadrato e sia x la misura dell'angolo PAB

semicirconferenza su quadrato


Dobbiamo determinare l'ampiezza dell'angolo x in modo che sia vera la seguente relazione:

PD^2+PC^2 = 4(PA^2+PB^2)

Procediamo!

Dai dati forniti dal problema sappiamo che

AB = BC = CD = AD = ell

Inoltre il triangolo di vertici APB è un triangolo rettangolo in quanto triangolo inscritto in una semicirconferenza di cui conosciamo la misura dell'ipotenusa:

AB = ell

e l'ampiezza di un angolo

PAB = x

Applicando i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo ricavare immediatamente la misura dei due cateti:

 PB = ell sin(x) ; PA = ell cos(x)

Focalizziamo ora la nostra attenzione sul triangolo di vertici PAD di cui, al momento, conosciamo la misura dei seguenti due lati

 PA = ell cos(x) ; AD = ell

e l'ampiezza dell'angolo PAD che si ricava dalla somma tra l'angolo x e l'angolo DAB (che è un angolo retto), pertanto

PAD = 90+x

Possiamo allora applicare il teorema di Carnot al triangolo PAD con lo scopo di ricavare la misura del lato PD in termini di x:

PD^2 = PA^2+AD^2-2·PA·AD·cos (90+x)

Sostituendo i valori noti e ricordando che, per le formule degli angoli associati

cos(90+x) = -sin(x)

otteniamo

PD^2 = ell^2cos^2(x)+ ell^2+2 ell^2cos(x)sin(x)

Facciamo lo stesso identico discorso per il triangolo di vertici PBC del quale conosciamo

 PB = ell sin(x) ; BC = ell ; PBC = PBA+90 = (180-90-x)+90 = (90-x)+90 = 180-x

Per ricavare l'ampiezza dell'angolo PBA è sufficiente ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e quindi da tale valore basta sottrarre l'ampiezza degli altri due.

Applichiamo nuovamente il teorema di Carnot così da ricavare la misura del lato PC.

PC^2 = PB^2+BC^2-2·PB·BC·cos (180-x)

Da cui, sostituendo e ricordando che

cos(180-x) = -cos(x)

otteniamo

PC^2 = ell^2sin^2(x)+ ell^2+2 ell^2 sin(x)cos(x)

Abbiamo così ricavato in termini dell'incognita x tutti i lati che compaiono nell'equazione risolutiva fornita dal problema

PD^2+PC^2 = 4(PA^2+PB^2)

Non ci rimane altro da fare se non sostituire i valori trovati e risolvere l'equazione nell'incognita x.

 ell^2cos^2(x)+ ell^2+2 ell^2cos(x)sin(x) (PD^2)+;+ ell^2sin^2(x)+ ell^2+2 ell^2 sin(x)cos(x) (PC^2) = 4 (ell^2cos^2(x)+ ell^2sin^2(x)) (PA^2+PB^2)

Raccogliamo opportunamente il fattore ell^2 ed applichiamo l'identità fondamentale della trigonometria

 ell^2[cos^2(x)+sin^2(x)]+2 ell^2+4 ell^2cos(x)sin(x) = 4 ell^2[sin^2+cos^2(x)] ; ell^2+2 ell^2+4 ell^2cos(x)sin(x) = 4 ell^2 ; 4 ell^2 cos(x)sin(x) = ell^2 ; 4cos(x)sin(x) = 1

Dove nell'ultimo passaggio abbiamo diviso tutto per ell^2 (quantità sicuramente diversa da zero in quanto misura del lato di un quadrato).

Siamo così ricaduti in un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno.

Come ampiamente spiegato nella lezione del link, applichiamo la proprietà fondamentale della trigonometria e scriviamo il secondo membro in termini di seno e coseno

4cos(x)sin(x) = sin^2(x)+cos^2(x)

Portiamo tutto a secondo membro

sin^2(x)-4cos(x)sin(x)+cos^2(x) = 0

e dividiamo per cos^2(x)

tan^2(x)-4tan(x)+1 = 0

Con la sostituzione tan(x) = y ricadiamo in un'equazione di secondo grado

y^2-4y+1 = 0

Applicando la formula risolutiva troviamo le due soluzioni

y_1 = 2-√(3) e y_2 = 2+√(3)

Abbiamo così ottenuto due equazioni goniometriche elementari

 tan(x) = 2-√(3) ; tan(x) = 2+√(3)

le quali, ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche, hanno come soluzione

 x = (π)/(12) = 15° ; x = (2)/(5)π = 72°

che indicano l'ampiezza che deve avere l'angolo PAB affinché valga la relazione data.

Poiché x è l'ampiezza di un angolo interno di un triangolo ho omesso, volontariamente, la periodicità;

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, gcappellotto47
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