Problema di Trigonometria con quadrato, semicirconferenza e incognita

Ho il seguente problema di Trigonometria ad una incognita x con un quadrato ed una semicirconferenza, che vorrei risolvere adeguatamente.

Si abbia un quadrato ABCD di lato , su un lato, esternamente al quadrato, costruire una semicirconferenza di diametro . Prendere un punto sulla semicirconferenza e determinare l'angolo , in modo che sia vera la relazione:



Grazie e saluti

Quello da te proposto è un classico problema geometrico di trigonometria.

La prima cosa da fare è rappresentare la situazione graficamente; disegniamo allora un quadrato di vertici A, B, C, D e, esternamente al quadrato, disegniamo una semicirconferenza di diametro AB.

Prendiamo poi sulla semicirconferenza un punto P, congiungiamo P con tutti i vertici del quadrato e sia x la misura dell'angolo



Dobbiamo determinare l'ampiezza dell'angolo x in modo che sia vera la seguente relazione:



Procediamo!

Dai dati forniti dal problema sappiamo che



Inoltre il triangolo di vertici APB è un triangolo rettangolo in quanto triangolo inscritto in una semicirconferenza di cui conosciamo la misura dell'ipotenusa:



e l'ampiezza di un angolo



Applicando i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo ricavare immediatamente la misura dei due cateti:



Focalizziamo ora la nostra attenzione sul triangolo di vertici PAD di cui, al momento, conosciamo la misura dei seguenti due lati



e l'ampiezza dell'angolo che si ricava dalla somma tra l'angolo x e l'angolo (che è un angolo retto), pertanto



Possiamo allora applicare il teorema di Carnot al triangolo PAD con lo scopo di ricavare la misura del lato PD in termini di x:



Sostituendo i valori noti e ricordando che, per le formule degli angoli associati



otteniamo



Facciamo lo stesso identico discorso per il triangolo di vertici PBC del quale conosciamo



Per ricavare l'ampiezza dell'angolo PBA è sufficiente ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e quindi da tale valore basta sottrarre l'ampiezza degli altri due.

Applichiamo nuovamente il teorema di Carnot così da ricavare la misura del lato PC.



Da cui, sostituendo e ricordando che



otteniamo



Abbiamo così ricavato in termini dell'incognita x tutti i lati che compaiono nell'equazione risolutiva fornita dal problema



Non ci rimane altro da fare se non sostituire i valori trovati e risolvere l'equazione nell'incognita x.



Raccogliamo opportunamente il fattore ed applichiamo l'identità fondamentale della trigonometria



Dove nell'ultimo passaggio abbiamo diviso tutto per (quantità sicuramente diversa da zero in quanto misura del lato di un quadrato).

Siamo così ricaduti in un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno.

Come ampiamente spiegato nella lezione del link, applichiamo la proprietà fondamentale della trigonometria e scriviamo il secondo membro in termini di seno e coseno



Portiamo tutto a secondo membro



e dividiamo per



Con la sostituzione ricadiamo in un'equazione di secondo grado



Applicando la formula risolutiva troviamo le due soluzioni



Abbiamo così ottenuto due equazioni goniometriche elementari



le quali, ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche, hanno come soluzione



che indicano l'ampiezza che deve avere l'angolo affinché valga la relazione data.

Poiché x è l'ampiezza di un angolo interno di un triangolo ho omesso, volontariamente, la periodicità;

È tutto!