Problema di Trigonometria con quadrato, semicirconferenza e incognita
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#92347
 gcappellotto47 Cerchio | Ho il seguente problema di Trigonometria ad una incognita x con un quadrato ed una semicirconferenza, che vorrei risolvere adeguatamente. Si abbia un quadrato ABCD di lato  , su un lato, esternamente al quadrato, costruire una semicirconferenza di diametro  . Prendere un punto  sulla semicirconferenza e determinare l'angolo  , in modo che sia vera la relazione: Grazie e saluti |
#92352
 Galois Amministratore | Quello da te proposto è un classico problema geometrico di trigonometria. La prima cosa da fare è rappresentare la situazione graficamente; disegniamo allora un quadrato di vertici A, B, C, D e, esternamente al quadrato, disegniamo una semicirconferenza di diametro AB. Prendiamo poi sulla semicirconferenza un punto P, congiungiamo P con tutti i vertici del quadrato e sia x la misura dell'angolo   Dobbiamo determinare l'ampiezza dell'angolo x in modo che sia vera la seguente relazione: Procediamo! Dai dati forniti dal problema sappiamo che  Inoltre il triangolo di vertici APB è un triangolo rettangolo in quanto triangolo inscritto in una semicirconferenza di cui conosciamo la misura dell'ipotenusa:  e l'ampiezza di un angolo  Applicando i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo possiamo ricavare immediatamente la misura dei due cateti:  Focalizziamo ora la nostra attenzione sul triangolo di vertici PAD di cui, al momento, conosciamo la misura dei seguenti due lati  e l'ampiezza dell'angolo  che si ricava dalla somma tra l'angolo x e l'angolo  (che è un angolo retto), pertanto Possiamo allora applicare il teorema di Carnot al triangolo PAD con lo scopo di ricavare la misura del lato PD in termini di x:  Sostituendo i valori noti e ricordando che, per le formule degli angoli associati  otteniamo  Facciamo lo stesso identico discorso per il triangolo di vertici PBC del quale conosciamo  Per ricavare l'ampiezza dell'angolo PBA è sufficiente ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° e quindi da tale valore basta sottrarre l'ampiezza degli altri due. Applichiamo nuovamente il teorema di Carnot così da ricavare la misura del lato PC.  Da cui, sostituendo e ricordando che  otteniamo  Abbiamo così ricavato in termini dell'incognita x tutti i lati che compaiono nell'equazione risolutiva fornita dal problema Non ci rimane altro da fare se non sostituire i valori trovati e risolvere l'equazione nell'incognita x.  Raccogliamo opportunamente il fattore  ed applichiamo l'identità fondamentale della trigonometria![ell^2[cos^2(x)+sin^2(x)]+2 ell^2+4 ell^2cos(x)sin(x) = 4 ell^2[sin^2+cos^2(x)] ; ell^2+2 ell^2+4 ell^2cos(x)sin(x) = 4 ell^2 ; 4 ell^2 cos(x)sin(x) = ell^2 ; 4cos(x)sin(x) = 1](/images/joomlatex/3/f/3feeca6005dafa09604315917ceb4a8c.gif) Dove nell'ultimo passaggio abbiamo diviso tutto per (quantità sicuramente diversa da zero in quanto misura del lato di un quadrato).Siamo così ricaduti in un'equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno. Come ampiamente spiegato nella lezione del link, applichiamo la proprietà fondamentale della trigonometria e scriviamo il secondo membro in termini di seno e coseno  Portiamo tutto a secondo membro  e dividiamo per   Con la sostituzione  ricadiamo in un'equazione di secondo grado Applicando la formula risolutiva troviamo le due soluzioni  Abbiamo così ottenuto due equazioni goniometriche elementari  le quali, ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche, hanno come soluzione  che indicano l'ampiezza che deve avere l'angolo affinché valga la relazione data.Poiché x è l'ampiezza di un angolo interno di un triangolo ho omesso, volontariamente, la periodicità; È tutto!  |
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