Approssimare una funzione con Mc Laurin a meno di un errore

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Approssimare una funzione con Mc Laurin a meno di un errore #92291

avt
Final
Punto
In questo esercizio devo approssimare il valore di una funzione con gli sviluppi di Mc Laurin a meno di un errore assegnato.

Utilizzando il polinomio di McLaurin per la funzione f(x)=\sin(x) calcolare \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) con un errore minore di \frac{1}{1000}, determinare quindi una stima dell'errore.

Il problema è che non riesco a capire la richiesta dell'esercizio e, di conseguenza, non saprei come risolverlo. Potreste gentilmente aiutarmi?

Grazie in anticipo
 
 

Re: Approssimare una funzione con Mc Laurin a meno di un errore #92310

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Final. emt

L'esercizio chiede di determinare un'approssimazione del valore \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) con un errore minore della tolleranza \varepsilon=\frac{1}{1000}, utilizzando il polinomio di Mac Laurin P_n(x) associato alla funzione seno: f(x)=\sin(x).

Ricordiamo se una funzione f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Taylor in un intorno di x_0=0 allora

f(x)=P_n (x)+R_{n+1}(x)

Ossia possiamo esprimere la funzione come somma tra un polinomio di grado al più n, detto polinomio di Mac Laurin, e un certo resto infinitesimo per x\to 0.

Il resto può essere nella forma di Peano, che si esprime tramite l'o-piccolo, e sebbene sia utile nella risoluzione dei limiti con Taylor, non lo è in questi casi.

Il resto nella forma di Lagrange, invece, consente di determinare una stima dell'errore che commettiamo quando utilizziamo il polinomio al posto della funzione: è quello di cui abbiamo bisogno!

Si può dimostrare che il resto nella forma di Lagrange è

R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}\mbox{ con }c\in [0, x]

dove f^{(n+1)}(x) è la derivata n+1-esima di f(x), n! è il fattoriale di n e c è un numero reale compreso tra il centro dello sviluppo x_0=0 e un generico x.

L'errore commesso è per definizione il valore assoluto del resto:

|f(x)-P_{n}(x)|=|R_{n+1}(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}\right|\mbox{ con }c\in [0, x]

Purtroppo non conosciamo esplicitamente l'errore, però possiamo determinare una sua maggiorazione o detto in altri termini una sua stima, a patto di riuscire ad esplicitare l'espressione di f^{(n+1)}(x) al variare di n.

In generale questo non è sempre possibile, ma la funzione seno

f(x)=\sin(x)

ha una peculiarità: le sue derivate successive sono cicliche di ordine 4, ossia si ripetono ogni 4 ordini di derivazione.

\begin{array}{llll} f(x)=\sin(x)& f^{(4)}(x)=\sin(x)& ... &  f^{(4n)}(x)=\sin(x) \\ \\ f'(x)=\cos(x)& f^{(5)}(x)=\cos(x) & ... & f^{(4n+1)}(x)=\cos(x) \\ \\ f''(x)=-\sin(x)& f^{(6)}(x)=-\sin(x)&   ... & f^{(4n+2)}(x)=-\sin(x)\\ \\ f'''(x)=-\cos(x) &  f^{(7)}(x)=-\cos(x)&  ... & f^{(4n+3)}(x)=-\cos(x)\end{array}

È evidente che le derivate successive di f(x) sono seni o coseni, a meno del segno, e poiché per tali funzioni valgono le disuguaglianze notevoli

\\ |\sin(x)|\le 1\ \ \ \forall x\in\mathbb{R}\\ \\ |\cos(x)|\le 1\ \ \ \forall x\in\mathbb{R}

possiamo concludere che |f^{(n+1)}(c)|\le 1 indipendentemente dall'ordine di derivazione.

Queste informazioni ci permettono di maggiorare l'errore come segue:

|f(x)-P_n(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\right|\cdot |x|^{n+1}\le \frac{1}{(n+1)!}|x|^{n+1}

Per x=\frac{\pi}{6} la precedente disuguaglianza diventa:

\left|f\left(\frac{\pi}{6}\right)-P_{n}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right|\le \frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}

Se la maggiorazione che abbiamo ottenuto è minore della tolleranza \varepsilon=\frac{1}{1000}, anche l'errore commesso sarà minore della tolleranza.

Imponiamo quindi che:

\frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}<\frac{1}{1000}

Il nostro intento ora è quello di determinare il più piccolo intero positivo o nullo n che realizzi la disuguaglianza.

Aiutandoci con una calcolatrice possiamo sostituire ad n i numeri naturali, partendo da 0 e continuare fino a quando la disequazione non viene soddisfatta:

se n=0 allora \frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}=\frac{\pi}{6} che è maggiore della tolleranza scelta;

se n=1 allora \frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{2}>\frac{1}{1000};

se n=2 allora \frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}=\frac{1}{3!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{3}>\frac{1}{1000};

se n=3 allora \frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}=\frac{1}{4!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{4}>\frac{1}{1000};

se n=4 allora \frac{1}{(n+1)!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}=\frac{1}{5!}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{5}<\frac{1}{1000}.

Abbiamo terminato. Dovremo quindi trovare il polinomio di Mac Laurin di grado 4 associato alla funzione seno. A questo punto si aprono due strade: possiamo trovare il polinomio di Mac Laurin con la definizione stessa del polinomio di Taylor-Mac Laurin, oppure possiamo utilizzare gli sviluppi notevoli di Taylor.

Se sei interessato puoi leggere la lezione su come calcolare lo sviluppo di Taylor.

In entrambi i casi otterremo:

P_{4}(x)=x-\frac{x^3}{3!}=x-\frac{x^3}{6}

Osserviamo che il coefficiente del monomio di grado 4 è nullo, per questo non compare esplicitamente nello sviluppo.

Possiamo trovare l'approssimazione sostituendo ad x del polinomio, il valore \frac{\pi}{6}

\\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\simeq P_{4}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\\ \\=\frac{\pi}{6}-\frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{6}\right)^3\simeq 0.499674

che rappresenta una buona approssimazione di

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Ringraziano: Omega, CarFaby, Final

Re: Approssimare una funzione con Mc Laurin a meno di un errore #92320

avt
Final
Punto
Grazie mille! emt
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Os