Trasformare coseno in seno

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Trasformare coseno in seno #91861

avt
gcappellotto47
Cerchio
Ho qualche dubbio sul metodo per trasformare il coseno in seno e viceversa, in particolare non so come comportarmi in un esercizio in cui devo trovare la relazione tra due coefficienti affinché valga una certa uguaglianza tra seno e coseno.

Scrivere una legge del tipo

y=r\cos[\omega(x+\theta)]

nella forma

y=r\sin[\omega(x+\phi)]

Quale relazione lega \theta\mbox{ e }\phi\ ?

Grazie e saluti
 
 

Re: Trasformare coseno in seno #91864

avt
Omega
Amministratore
Ciao GCappellotto47,

per risolvere l'esercizio conviene ragionare sul metodo generale per trasformare il seno in coseno, in modo da non farci confondere dai vari coefficienti presenti nelle due leggi.

Fatto ciò procederemo applicando la regola nel caso dell'esercizio proposto.

Noi abbiamo \cos(A) e vogliamo trasformarlo in \sin(B). Nel farlo dobbiamo capire qual è il legame tra A,B, per cui consideriamo l'uguaglianza

\cos(A)=\sin(B)

Se riusciamo a trasformare il seno del secondo membro in un coseno siamo a cavallo.

Possiamo indifferentemente appellarci alle definizioni di seno e coseno o, più convenientemente, alle formule per gli angoli associati:

\sin(\alpha)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)

Di conseguenza possiamo riscrivere la precedente uguaglianza nella forma

\cos(A)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-B\right)

Benissimo. Ci siamo ridotti ad un'equazione trigoniometrica da risolvere con un procedimento ben preciso

A=\pm\left(\frac{\pi}{2}-B\right)+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri relativi.


Quella che abbiamo appena scritto è la relazione che ci serve per la risoluzione dell'esercizio proposto. Infatti, per individuare la relazione che lega \theta,\phi in modo che la legge

y=r\cos[\omega(x+\theta)]

equivalga alla legge

y=r\sin[\omega(x+\phi)]

dobbiamo necessariamente considerare l'uguaglianza

r\cos[\omega(x+\theta)]=r\sin[\omega(x+\phi)]

Con un'immediata semplificazione passiamo a

\cos[\omega(x+\theta)]=\sin[\omega(x+\phi)]

da cui

\omega(x+\theta)=\pm\left(\frac{\pi}{2}-\omega(x+\phi)\right)+2k\pi

Distinguiamo due casi a seconda del segno che prendiamo in esame.


SEGNO +

\omega(x+\theta)=\left(\frac{\pi}{2}-\omega(x+\phi)\right)+2k\pi

da cui

\omega x+\omega\theta=\frac{\pi}{2}-\omega x-\omega\phi+2k\pi

e quindi

\omega\theta=\frac{\pi}{2}-2\omega x-\omega\phi+2k\pi

Nella legittima ipotesi per cui \omega\neq 0 (il caso \omega=0 si esclude a priori) risulta

\theta=-\phi-2x+\frac{\pi}{\omega}\left(2k+\frac{1}{2}\right)


SEGNO -

\omega(x+\theta)=-\left(\frac{\pi}{2}-\omega(x+\phi)\right)+2k\pi

da cui

\omega x+\omega\theta=-\frac{\pi}{2}+\omega x+\omega\phi-2k\pi

Con abuso di notazione scriviamo -k\to k, dacché il coefficiente varia nell'insieme dei relativi

\omega\theta=-\frac{\pi}{2}+\omega\phi+2k\pi

ed infine

\theta=+\phi+\frac{\pi}{\omega}\left(2k-\frac{1}{2}\right)
Ringraziano: CarFaby, gcappellotto47
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