Periodo di una somma con quadrato di funzioni periodiche

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Periodo di una somma con quadrato di funzioni periodiche #91805

avt
gcappellotto47
Cerchio
Chiedo cortesemente dei chiarimenti sul calcolo del periodo di una somma di funzioni periodiche con un elevamento al quadrato.

In particolare ho questa funzione:

f(x)=\cos^2(4x)+\tan(8x)

Ho pensato di procedere come segue: periodo di \cos(4x)= \frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.

Elevo al quadrato il denominatore e ottengo \frac{\pi}{4}.

Calcolo il periodo di \tan(8x)=\frac{\pi}{8}, quindi dovrei prendere il m.c.m. del denominatore?

Grazie e saluti
 
 

Periodo di una somma con quadrato di funzioni periodiche #91808

avt
Omega
Amministratore
Ciao GCappellotto47,

ci sono buoni spunti nelle tue considerazioni, ma anche errori che inficiano la validità del risultato. Tieni sempre a mente che, quando si parla di funzioni periodiche e di operazioni tra funzioni, il rischio di fare confusione è alto.

Il punto di partenza è il seguente teorema sul periodo di somma, prodotto e quoziente di funzioni periodiche.

Se si hanno due funzioni periodiche con diverso periodo, T_1\neq T_2, e se esistono multipli interi comuni dei due periodi, allora la funzione somma, prodotto, quoziente hanno periodo uguale al minimo comune multiplo dei periodi.

Se si hanno due funzioni periodiche con lo stesso periodo T, allora la funzione somma, prodotto, quoziente hanno periodo minore o uguale al periodo comune T

Ancor prima di procedere vorrei farti notare che nell'enunciato si fa menzione del mcm di numeri che non saranno necessariamente interi, e noi disponiamo di una definizione di minimo comune multiplo che vale solamente per gli interi.

In questo contesto con minimo comune multiplo di due numeri reali a,b ci si riferisce con abuso di linguaggio al più piccolo numero reale m che differisce da a,b a meno di opportuni coefficienti interi:

m=mcm(a,b)\mbox{ se }\exists c_a,c_b\in\mathbb{Z}\mbox{ t.c. }\begin{cases}m=c_aa\\ m=c_bb\end{cases}

Ora vediamo come ragionare nel caso dell'esercizio proposto:

f(x)=\cos^2(4x)+\tan(8x)

Prima di tutto dobbiamo ragionare sull'addendo \cos^2(x). Consideriamo

y=\cos(4x)

Qui dobbiamo servirci di un noto teorema sulle funzioni periodiche, ed in particolare il teorema del periodo di una funzione con coefficiente sull'argomento

Se una funzione f è periodica di periodo T, allora la funzione f(kx) con k reale non nullo è periodica di periodo \frac{T}{|k|}

dove k è in valore assoluto perché il periodo di una funzione è positivo per definizione.

Facendo riferimento alla funzione coseno y=\cos(x), la quale ha notoriamente periodo 2\pi, ne deduciamo che \cos(4x) ha periodo

T_{cos(4x)}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}

Problemone: per passare a calcolare il periodo di

y=\cos^2(4x)

non possiamo usare la regola sul minimo comune multiplo espressa dal primo teorema, perché considerando il quadrato come prodotto

y=\cos^2(4x)=\cos(x)\cdot \cos(x)

ci ritroveremmo con il prodotto di due funzioni periodiche con il medesimo periodo.

Facciamoci furbi e usiamo le formule di bisezione

\cos^2(2\alpha)=\frac{1+\cos(\alpha)}{2}

da cui

\cos^2(4x)=\frac{1+\cos(8x)}{2}

Qui determinare il periodo della funzione, espressa nella forma equivalente, è un gioco da ragazzi. Non dobbiamo neppure appellarci a qualche regola teorica, ci basta ragionare seguendo la composizione di funzioni e tenendo a mente il significato grafico delle operazioni tra funzioni (cfr grafico intuitivo di funzioni)

\cos(8x)\ \to\ 1+\cos(8x)\ \to\ \frac{1+\cos(8x)}{2}

per cui il periodo rimane invariato:

T_{\cos^2(4x)}=T_{\frac{1+\cos(8x)}{2}}=T_{\cos(8x)}=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}

Passiamo al secondo addendo

y=\tan(8x)

Qui basta ricordare che la funzione tangente ha periodo

T_{\tan(x)}=\pi

sicché

T_{\tan(8x)}=\frac{\pi}{8}

Siamo pronti per determinare il periodo della funzione somma, e per farlo possiamo usare la regola del mcm del primo teorema, perché T_{\cos^2(4x)}\neq T_{\tan(8x)}

T_{\cos^2(4x)+\tan(8x)}=\frac{\pi}{4}

dove ovviamente \frac{\pi}{4} è il "minimo comune multiplo" tra \frac{\pi}{4}\ \mbox{e} \ \frac{\pi}{8}

PS: se avessi altri esercizi di questo tipo, sappi che puoi usare il tool per calcolare il periodo delle funzioni online, giusto per verificare i tuoi risultati. emt
Ringraziano: Ifrit, Galois, CarFaby
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Os