Espressione goniometrica con seno dell'arcotangente

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Espressione goniometrica con seno dell'arcotangente #91750

avt
gcappellotto47
Cerchio
Ho questa espressione goniometrica con il seno dell'arcotangente, di cui devo calcolare il valore, che mi mette in difficoltà

\sin\left[\arctan \left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)+\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right]

Grazie e saluti
 
 

Re: Espressione goniometrica con seno dell'arcotangente #91754

avt
Omega
Amministratore
Ciao GCappellotto 47!

Quando ti capita di dover determinare il valore di un'espressione goniometrica in cui il seno e coseno hanno come argomento un'inversa trigonometrica, puoi avere fortuna ed imbatterti in un'espressione in cui:

- le definizioni ti permettono di uscire dalle grane;

- le valutazioni dirette (cfr valori delle funzioni trigonometriche) ti permettono di uscire dalle grane.

Come ben sappiamo però molto spesso capita di imbattersi in valori non notevoli e noi sfortunatamente ci troviamo in questo caso, a causa del termine

\arctan\left(\frac{1}{3}\right)

Dunque qui non c'è modo di uscirne mediante valutazioni dirette.

Ci sono però alcune formule relative alla composizione delle funzioni goniometriche con altre inverse goniometriche che permettono di risolvere brillantemente il problema, e che è bene tenere a mente. Non vanno certamente sapute tutte ma è opportuno ricordare le formule principali.

Con formule principali intendo il minimo sindacale che ti permette di ricavare tutte le restanti formule. emt

Nel nostro caso ci serviranno le formule dell'arcotangente

\\ \sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x\\ \\ \\ \cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x

e, a ben vedere, ci basterebbe ricordare

\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x

perché la formula arcotangente del coseno può essere facilmente ricavata a partire da essa e dall'identità fondamentale della trigonometria.

Procediamo

\sin\left[\arctan \left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)+\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right]

Usiamo la formula di sommazione degli archi

\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\left(\alpha\right)\cos\left(\beta\right)+\cos\left(\alpha\right)\sin\left(\beta\right)

Nel nostro caso

\\ \sin\left[\arctan \left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)+\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right]=\\ \\ \\ =\sin\left(\arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)\right)\cos\left(\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right)+
+\cos\left(\arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)\right)\sin\left(\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right)

Ora, sotto con le formule! Non dimentichiamoci la regola per le frazioni di frazioni

\\ \sin\left(\arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)\right)=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+\frac{3}{9}}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{3}{2\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}\\ \\ \\ \cos\left(\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\\ \\ \\ \cos\left(\arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)\right)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{9}}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \\ \sin\left(\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right)=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}

e quindi, ricomponendo l'espressione goniometrica, otteniamo

\\ \sin\left[\arctan \left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)+\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right]=\\ \\ \\ =\sin\left(\arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)\right)\cos\left(\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right)+
+\cos\left(\arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)\right)\sin\left(\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\right)=
\\ =-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=\\ \\ \\ =\frac{-3+\sqrt{3}}{2\sqrt{10}}

Per la cronaca, nella sezione dedicata alle funzioni elementari abbiamo riportato per ciascuna inversa trigonometrica tutte le formule di composizione con le varie funzioni goniometriche. emt
Ringraziano: CarFaby, gcappellotto47

Re: Espressione goniometrica con seno dell'arcotangente #91758

avt
gcappellotto47
Cerchio
Risposta perfetta, grazie.

Vorrei porti una domanda a proposito della formula

\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\ \ \ \forall x

qual è il procedimento per ricavarla?

Re: Espressione goniometrica con seno dell'arcotangente #91777

avt
Omega
Amministratore
Ecco qui: ho preferito proporre la dimostrazione in un topic a parte, per agevolarne la reperibilità.

Dimostrazione della formula del seno dell'arcotangente sin(arctan(x))

In caso di dubbi sai cosa fare. emt
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Os