Matrice diagonalizzante di una matrice triangolare superiore

Ho difficoltà nel trovare la matrice diagonalizzante di una matrice triangolare superiore.

La matrice in questione è la seguente



Ovviamente essendo una triangolare superiore i suoi autovalori sono 1, 3 e 7.

Devo ora trovare la matrice diagonalizzante, per cui devo trovare gli autovettori relativi agli autovalori.

So bene che la matrice diagonale è costituita dagli autovalori presenti sulla diagonale principale, cioè



Sono riuscito (forse) a trovare gli autovettori

.

Però quando cerco di risolvere il sistema omogeneo relativo a
, mi impantano. Il sistema da risolvere dovrebbe essere



Non riesco a capire a quale incognita devo accoppiare il parametro libero per poi trovare l’autovettore.

Vi ringrazio!
Walbert0165

Andiamo dritti al nocciolo della questione, ossia troviamo la matrice diagonalizzante della seguente matrice triangolare superiore



Poiché siamo di fronte ad una matrice triangolare superiore i suoi autovalori sono gli elementi della diagonale principale, ossia



Pertanto, avendo una matrice quadrata di ordine 3 con 3 autovalori distinti, siamo sicuri che la è una matrice diagonalizzabile.

La matrice diagonale a cui essa è simile è la matrice che presenta sulla diagonale principale gli autovalori trovati, ossia



Mentre la matrice diagonalizzante è la matrice che ha come colonne gli autovettori associati ad ogni autovalore.

Dobbiamo quindi trovare tali autovettori e, a tal fine, ti invito a leggere la nostra lezione su autovalori ed autovettori.

Confermo che l'autovettore relativo all'autovalore è proprio , mentre l'autovettore relativo all'autovalore è .

Troviamo allora l'autovettore associato all'autovalore .

Come ben dici, per far ciò, dobbiamo risolvere il sistema lineare



ossia



da cui, svolgendo il prodotto tra matrici si ottiene



Abbiamo cioè un sistema di due equazioni in tre incognite



le cui matrici (completa ed incompleta) associate al sistema sono



Come si può facilmente verificare, il rango della matrice incompleta è pari a due, infatti il minore di ordine due che si ottiene eliminando la prima riga, ossia



ha determinante non nullo.

Ovviamente è pari a due anche il rango della matrice completa, pertanto per il teorema di Rouché Capelli possiamo asserire che il sistema ammette soluzioni.

Assegniamo quindi ad una delle tre incognite (scelta a caso) il ruolo di parametro libero e ricaviamo le altre due incognite in funzione di questa.

Ponendo e sostituendo nel sistema otteniamo



Dalla seconda equazione si ricava da cui, sostituendo nella prima equazione



Dopo qualche semplicissimo conticino algebrico si ottiene



Pertanto la famiglia delle soluzioni del sistema è



che, scritta sotto forma di combinazione lineare diventa



Pertanto



è un autovettore relativo all'autovalore che, volendo, possiamo anche scrivere come



ottenuto moltiplicando ogni componente per 12.

Possiamo così concludere che la matrice diagonalizzante cercata è




È tutto!

Grazie Galois, mi hai riportato sulla buona strada, pensavo di essere rimbambito, all'inizio avevo supposto i 5/4 ma quando ho visto che venivano numeri strani mi sono arenato.

Ancora tante grazie.