Matrice diagonalizzante di una matrice triangolare superiore

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Matrice diagonalizzante di una matrice triangolare superiore #91630

avt
walbert0165
Punto
Ho difficoltà nel trovare la matrice diagonalizzante di una matrice triangolare superiore.

La matrice in questione è la seguente

A=\begin{pmatrix}1&2&4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 7\end{pmatrix}

Ovviamente essendo una triangolare superiore i suoi autovalori sono 1, 3 e 7.

Devo ora trovare la matrice diagonalizzante, per cui devo trovare gli autovettori relativi agli autovalori.

So bene che la matrice diagonale è costituita dagli autovalori presenti sulla diagonale principale, cioè

D=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7\end{pmatrix}

Sono riuscito (forse) a trovare gli autovettori

v_1=(1,0,0) \mbox{ e } v_2=(1,1,0).

Però quando cerco di risolvere il sistema omogeneo relativo a
\lambda_3=7, mi impantano. Il sistema da risolvere dovrebbe essere

\begin{cases}-6x+2y+4z=0 \\  0x-4y+5z=0 \\ 0x+0y+0z=0 \end{cases}

Non riesco a capire a quale incognita devo accoppiare il parametro libero per poi trovare l’autovettore.

Vi ringrazio!
Walbert0165
 
 

Matrice diagonalizzante di una matrice triangolare superiore #91632

avt
Galois
Coamministratore
Andiamo dritti al nocciolo della questione, ossia troviamo la matrice diagonalizzante della seguente matrice triangolare superiore

A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 7\end{pmatrix}

Poiché siamo di fronte ad una matrice triangolare superiore i suoi autovalori sono gli elementi della diagonale principale, ossia

\lambda_1=1, \ \lambda_2=3, \ \lambda_3=7

Pertanto, avendo una matrice quadrata di ordine 3 con 3 autovalori distinti, siamo sicuri che A la è una matrice diagonalizzabile.

La matrice diagonale D a cui essa è simile è la matrice che presenta sulla diagonale principale gli autovalori trovati, ossia

D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 7\end{pmatrix}

Mentre la matrice diagonalizzante P è la matrice che ha come colonne gli autovettori associati ad ogni autovalore.

Dobbiamo quindi trovare tali autovettori e, a tal fine, ti invito a leggere la nostra lezione su autovalori ed autovettori.

Confermo che l'autovettore relativo all'autovalore \lambda_1=1 è proprio v_1=(1,0,0), mentre l'autovettore relativo all'autovalore \lambda_2=3 è v_2=(1,1,0).

Troviamo allora l'autovettore associato all'autovalore \lambda_3=7.

Come ben dici, per far ciò, dobbiamo risolvere il sistema lineare

(A-7Id)\underline{x}=\underline{0}

ossia

\begin{pmatrix}-6 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & 5 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

da cui, svolgendo il prodotto tra matrici si ottiene

\begin{cases}-6x+2y+4z=0 \\ -4y+5z=0 \\ 0x+0y+0z=0\end{cases}

Abbiamo cioè un sistema di due equazioni in tre incognite

\begin{cases}-6x+2y+4z=0 \\ -4y+5z=0 \end{cases}

le cui matrici (completa ed incompleta) associate al sistema sono

\begin{pmatrix}-6 & 2 & 4 \\ 0 & -4 & 5\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}-6 & 2 & 4  & 0\\ 0 & -4 & 5 & 0\end{pmatrix}

Come si può facilmente verificare, il rango della matrice incompleta è pari a due, infatti il minore di ordine due che si ottiene eliminando la prima riga, ossia

\begin{pmatrix}2 & 4 \\ -4 & 5\end{pmatrix}

ha determinante non nullo.

Ovviamente è pari a due anche il rango della matrice completa, pertanto per il teorema di Rouché Capelli possiamo asserire che il sistema ammette \infty^{3-2}=\infty^1 soluzioni.

Assegniamo quindi ad una delle tre incognite (scelta a caso) il ruolo di parametro libero e ricaviamo le altre due incognite in funzione di questa.

Ponendo z=a e sostituendo nel sistema otteniamo

\begin{cases}-6x+2y+4a=0 \\ -4y+5a=0 \end{cases}

Dalla seconda equazione si ricava y=\frac{5}{4}a da cui, sostituendo nella prima equazione

-6x+2\cdot \frac{5}{4}a+4a=0

Dopo qualche semplicissimo conticino algebrico si ottiene

x=\frac{13}{12}a

Pertanto la famiglia delle soluzioni del sistema è

S=\left(\frac{13}{12}a, \frac{5}{4}a, a\right)

che, scritta sotto forma di combinazione lineare diventa

S=a\left(\frac{13}{12}, \frac{5}{4}, 1\right)

Pertanto

v_3=\left(\frac{13}{12}, \frac{5}{4}, 1\right)

è un autovettore relativo all'autovalore \lambda_3=7 che, volendo, possiamo anche scrivere come

v_3=\left(13, 15, 12\right)

ottenuto moltiplicando ogni componente per 12.

Possiamo così concludere che la matrice diagonalizzante cercata è

P=\begin{pmatrix}1 & 1 & 13 \\ 0 & 1 & 15 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix}


È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Matrice diagonalizzante di una matrice triangolare superiore #91633

avt
walbert0165
Punto
Grazie Galois, mi hai riportato sulla buona strada, pensavo di essere rimbambito, all'inizio avevo supposto i 5/4 ma quando ho visto che venivano numeri strani mi sono arenato.

Ancora tante grazie.
Ringraziano: Galois
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Os