Integrale improprio di seconda specie con radici

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Integrale improprio di seconda specie con radici #91623

avt
judd79
Cerchio
Mi servirebbe una mano con questo integrale improprio di seconda specie fratto e con radici

∫_(4)^(9)(x√(x))/(√(x)-3)dx

Grazie mille!
 
 

Integrale improprio di seconda specie con radici #91626

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Judd79,

quello che proponi in realtà non è un integrale indefinito, ma un integrale improprio di seconda specie. A tal proposito ho modificato sia il titolo che il testo della tua domanda.

Osserva infatti che la funzione integranda

f(x) = (x√(x))/(√(x)-3)

ha per dominio

dom(f) = x∈R : x ≥ 0 ∧ x ne 9

ed è una funzione continua nel dominio, perché composizione di funzioni continue.

L'intervallo di integrazione proposto è [4,9), in particolare:

lim_(x → 9^-)f(x) = lim_(x → 9^-)(x√(x))/(√(x)-3) = -∞

pertanto possiamo asserire che la funzione data è continua e illimitata in [4,9).

] Procediamo con lo studio dell'integrale improprio:

∫_(4)^(9)(x√(x))/(√(x)-3)dx

utilizzando il metodo di sostituzione per gli integrali. Poniamo

√(x) = t ⇒ x = t^2 ⇒ dx = 2t dt

Gli estremi di integrazione diventano:

x_0 = 4 ⇒ t_0 = √(x_0) = 2 ; x_1 = 9 ⇒ t_1 = √(x_1) = 3

Dopo aver sostituito, l'integrale diventa:

∫_(2)^(3)(2t^4)/(t-3)dt

Invece di risolvere l'integrale improprio con la definizione, possiamo pensare di utilizzare un criterio di convergenza che ci permetta di asserire se vi è convergenza oppure no. Il metodo del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie fa al caso nostro.

Osserviamo che l'integranda è una funzione a segno costante nell'intervallo considerato, inoltre per x → 3 da sinistra vale la stima asintotica:

(2t^4)/(t-3) ≃ _(x → 3^-)(162)/(t-3)

Pertanto l'integrale di partenza ha lo stesso carattere di

∫_(2)^(3)(162)/(t-3)dt = 162 ∫_(2)^(3)(1)/(t-3)dt

Per definizione di integrale improprio, si ha che:

∫_(2)^(3)(1)/(t-3)dt = lim_(M → 3^(-))∫_(2)^(M)(1)/(t-3)dt = lim_(M → 3^(-))[ln|t-3|]_(2)^(M) = lim_(M → 3^(-))ln|M-3| = -∞

Poiché questo integrale diverge negativamente, per il criterio del confronto asintotico divergerà negativamente anche l'integrale di partenza.

In definitiva:

∫_(4)^(9)(x√(x))/(√(x)-3)dx = -∞
Ringraziano: Galois, CarFaby, Mark_Knopfler
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