Integrale improprio di seconda specie con radici

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Integrale improprio di seconda specie con radici #91623

avt
judd79
Cerchio
Mi servirebbe una mano con questo integrale improprio di seconda specie fratto e con radici

\int_{4}^{9}\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}dx

Grazie mille!
 
 

Integrale improprio di seconda specie con radici #91626

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Judd79,

quello che proponi in realtà non è un integrale indefinito, ma un integrale improprio di seconda specie. A tal proposito ho modificato sia il titolo che il testo della tua domanda.

Osserva infatti che la funzione integranda

f(x)=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}

ha per dominio

\mbox{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\ :\ x\ge 0\wedge x\ne 9\}

ed è una funzione continua nel dominio, perché composizione di funzioni continue.

L'intervallo di integrazione proposto è [4,9), in particolare:

\lim_{x\to 9^-}f(x)= \lim_{x\to 9^-}\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=-\infty

pertanto possiamo asserire che la funzione data è continua e illimitata in [4,9).

] Procediamo con lo studio dell'integrale improprio:

\int_{4}^{9}\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}dx

utilizzando il metodo di sostituzione per gli integrali. Poniamo

\sqrt{x}=t\implies x=t^2\implies dx=2t dt

Gli estremi di integrazione diventano:

\\ x_0=4\implies t_0=\sqrt{x_0}=2\\ \\ x_1=9\implies t_1=\sqrt{x_1}=3

Dopo aver sostituito, l'integrale diventa:

\int_{2}^{3}\frac{2t^4}{t-3}dt

Invece di risolvere l'integrale improprio con la definizione, possiamo pensare di utilizzare un criterio di convergenza che ci permetta di asserire se vi è convergenza oppure no. Il metodo del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie fa al caso nostro.

Osserviamo che l'integranda è una funzione a segno costante nell'intervallo considerato, inoltre per x\to  3 da sinistra vale la stima asintotica:

\frac{2t^4}{t-3}\simeq_{x\to 3^-}\frac{162}{t-3}

Pertanto l'integrale di partenza ha lo stesso carattere di

\int_{2}^{3}\frac{162}{t-3}dt=162 \int_{2}^{3}\frac{1}{t-3}dt

Per definizione di integrale improprio, si ha che:

\\ \int_{2}^{3}\frac{1}{t-3}dt=\lim_{M\to 3^{-}}\int_{2}^{M}\frac{1}{t-3}dt=\\ \\ \\=\lim_{M\to 3^{-}}[\ln|t-3|]_{2}^{M}=\\ \\ \\=\lim_{M\to 3^{-}}\ln|M-3|=-\infty

Poiché questo integrale diverge negativamente, per il criterio del confronto asintotico divergerà negativamente anche l'integrale di partenza.

In definitiva:

\int_{4}^{9}\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}dx=-\infty
Ringraziano: Galois, CarFaby, Mark_Knopfler
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