Coniche e matrici affinemente equivalenti

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Coniche e matrici affinemente equivalenti #91599

avt
Pasqualino
Cerchio
Buonasera, quando due coniche e due matrici si dicono affinemente equivalenti?

Ho il seguente esercizio sullo studio dell'equivalenza affine al variare di un parametro e vorrei una conferma sullo svolgimento.

Sia \Gamma _{a} la conica di equazione

2x^{2}+ay^{2}+2xy-4x-2y=0

e sia \Gamma la conica di equazione

x^{2}+2y^{2}-1=0.

1) Trovare, al variare di a\in \mathbb{R}, la forma canonica di \Gamma_{a}.

2) Determinare per quale a\in \mathbb{R} la conica \Gamma_{a} è affinemente equivalente a \Gamma .


Innanzitutto scrivo le matrici completa ed incompleta associate alle conica \Gamma_{a}

\\ A=\begin{pmatrix} 2 &1  &-2 \\ 1 &a  &-1 \\ -2 &-1  &0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}2 &1 \\ 1 &a \end{pmatrix}

Osserviamo che

\mbox{det}(A)=-2(2a-1) \mbox{ e } \mbox{det}(B)=2a-1

Ciò significa che la conica \Gamma_a è non degenere per a\neq \frac{1}{2} e per tali valori è anche una conica a centro, in particolare è un'ellisse per a>\frac{1}{2} e un'iperbole per a<\frac{1}{2}.

Per a=\frac{1}{2} la conica è semplicemente degenere (dato che \mbox{rango}(A)=2) e quindi si spezza in due rette parallele.

In ogni caso la conica non può mai essere una parabola.

Ora il primo dubbio è il seguente: sulla base di queste considerazioni già posso rispondere alla seconda domanda e dire che, essendo \Gamma un'ellisse, \Gamma _{a} è affinemente equivalente a \Gamma solo per a>\frac{1}{2}?

In alternativa potrei dimostrare l'equivalenza affine per a>\frac{1}{2} osservando che per tali valori la matrice associata alla prima conica e la matrice associata alla seconda hanno stesso rango e stessa segnatura?

Se ciò non fosse vero come faccio a dimostrare l'affine equivalenza?

In ogni caso per trovare la forma canonica utilizzo il metodo degli invarianti. Trovo quindi gli autovalori di B che sono:

\\ \lambda _{1}=\frac{2+a+\sqrt{a^{2}-4a+8}}{2} \\ \\ \\ \lambda _{2}=\frac{2+a-\sqrt{a^{2}-4a+8}}{2}.

Ora utilizzo il metodo veloce degli invarianti e impongo che

\mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}\frac{2+a+\sqrt{a^{2}-4a+8}}{2} &0  &0 \\ 0 &\frac{2+a-\sqrt{a^{2}-4a+8}}{2}  &0 \\ 0 &0  &t \end{pmatrix}

Ossia

=-2(2a-1)=t(2a-1)

da cui ricavo che t=-2.

Allora la forma canonica sarà :

\left(\frac{2+a+\sqrt{a^{2}-4a+8}}{4}\right)x^{2}+\left(\frac{2+a-\sqrt{a^{2}-4a+8}}{4}\right)y^{2}=1.

Se invece a=\frac{1}{2} ottengo le due rette parallele:

r_{1}:2x+y-4=0 \mbox{ e } r_{2}:2x+y=0

Vi ringrazio!
 
 

Coniche e matrici affinemente equivalenti #91606

avt
Galois
Coamministratore
Prima di riesaminare passo passo il tuo svolgimento rispondo al tuo dubbio principale, dicendo che la distinzione in iperboli, ellissi e parabole esaurisce la classificazione affine delle coniche. Quindi due coniche sono affinemente equivalenti se e solo se sono dello stesso tipo.

Ora, se ci pensi un attimo, ogni conica è univocamente determinata da una matrice simmetrica e la classificazione delle coniche avviene tramite lo studio di rango e autovalori della matrice ad essa associata.

Questo piccolo ragionamento basta per convincersi che due matrici sono affinemente equivalenti se hanno stesso rango e stessa segnatura.


Detto questo veniamo al tuo esercizio.

Abbiamo l'equazione di due coniche

\\ \Gamma _{a}: \ 2x^{2}+ay^{2}+2xy-4x-2y=0 \\ \\ \Gamma: \ x^{2}+2y^{2}-1=0

la matrice completa associata alla seconda conica \Gamma è

G=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

da cui si vede immediatamente che si tratta di un'ellisse in quanto

\mbox{det}(G)=-2 \neq 0

ed il determinante della matrice dei termini quadratici è strettamente maggiore di zero:

\mbox{det}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}=2 >0


Fatto ciò passiamo allo studio della conica \Gamma_A.

Come ben dici le matrici ad essa associate sono

\\ A=\begin{pmatrix} 2 &1  &-2 \\ 1 &a  &-1 \\ -2 &-1  &0 \end{pmatrix} \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}2 &1 \\ 1 &a \end{pmatrix}

il cui studio di rango e determinante ci porta a dire che:

Per a = \frac{1}{2} la conica è non degenere e, nello specifico è una conica a centro.

Per a>\frac{1}{2} è un'ellisse e quindi, per quanto prima ricordato, per tali valore di a la conica \Gamma_a è affinemente equivalente alla conica \Gamma.

Per a<\frac{1}{2} siamo di fronte ad un'iperbole e la conica Gamma_a non potrà mai essere una parabola in quanto i valori del parametro che annullano il determinante della matrice B annullano anche il determinante della matrice A.

Ciò conferma che l'analisi da te fatta è perfetta.

Anche la riduzione in forma canonica di una conica col metodo degli invarianti è fatta bene.

Qualora ne avessi bisogno per un ripasso, la spiegazione di tale metodo è riportata nella lezione dell'ultimo link. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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Os