Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro
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Vi posto un problema su un operatore lineare con parametro di cui devo studiare la diagonalizzabilità.
Al variare di , sia assegnato un operatore lineare non nullo
su uno spazio vettoriale finitamente generato
. Si assuma che
soddisfi le condizioni:
per quali valori di l'operatore
è diagonalizzabile?
Grazie!
Come sempre accade, quest'esercizio è facilmente risolvibile se si hanno le giuste conoscenze teoriche.
Innanzitutto ricordiamo che un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ad esso associato ha tutte le radici nel campo in cui è definito e tali radici hanno tutte molteplicità algebrica pari ad 1.
Ricordiamo, a questo punto la definizione e le proprietà che caratterizzano il polinomio minimo di un operatore lineare:
si dice polinomio minimo per un operatore lineare
se:
- ossia se
annulla tale polinomio;
- se è un polinomio tale che
allora il grado del polinomio
è minore o uguale del grado del polinomio
.
- il coefficiente del termine di grado massimo di è 1.
Ricordiamo inoltre che il polinomio minimo deve dividere ogni polinomio che viene annullato dall'operatore lineare , ossia
Date per buone queste premesse veniamo al tuo esercizio.
Abbiamo un operatore lineare non nullo definito su uno spazio vettoriale
finitamente generato.
Sappiamo inoltre che soddisfa le seguenti condizioni:
ciò vuol dire che è una radice dei seguenti polinomi
cioè sappiamo che
Scomponiamo tali polinomi. Procedendo ad un raccoglimento parziale troviamo che
Per quanto prima ricordato, il polinomio minimo associato all'operatore lineare
deve dividere ogni polinomio che ha
come radice, ossia deve dividere sia
che
Gli unici polinomi che che dividono sia che
sono
Quindi il polinomio minimo associato ad può assumere una delle tre precedenti forme.
Attenzione ora! Come abbiamo ricordato un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici di molteplicità pari ad 1 e ciò è vero se e solo se . Infatti se fosse
si avrebbe
che ha come radice di molteplicità 2.
Possiamo così concludere che l'operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se .
È tutto!
Ciao Galois. Mi è rimasto un piccolo dubbio:
Che voleva intendere il prof con ?
Perché quando ho letto l'esercizio mi aveva disorientato quel termine
Ti ringrazio!
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