Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro

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Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro #91559

avt
Kronoa
Cerchio
Vi posto un problema su un operatore lineare con parametro di cui devo studiare la diagonalizzabilità.

Al variare di k\in\mathbb{R}, sia assegnato un operatore lineare non nullo f_k:V\to V su uno spazio vettoriale finitamente generato V. Si assuma che f_k soddisfi le condizioni:

\\ f_k^3-k^2f_k=kId_V-f_k^2\\ \\ f_k^3-k^2f_k=f_k^2-k^2Id_V

per quali valori di k l'operatore f_k è diagonalizzabile?
Grazie!
 
 

Re: Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro #91561

avt
Galois
Coamministratore
Come sempre accade, quest'esercizio è facilmente risolvibile se si hanno le giuste conoscenze teoriche.

Innanzitutto ricordiamo che un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ad esso associato ha tutte le radici nel campo in cui è definito e tali radici hanno tutte molteplicità algebrica pari ad 1.

Ricordiamo, a questo punto la definizione e le proprietà che caratterizzano il polinomio minimo di un operatore lineare:


m si dice polinomio minimo per un operatore lineare f_k se:

- m\left(f_k\right)=0 ossia se f_k annulla tale polinomio;

- se p è un polinomio tale che p\left(f_k\right)=0 allora il grado del polinomio m è minore o uguale del grado del polinomio p.

- il coefficiente del termine di grado massimo di m è 1.


Ricordiamo inoltre che il polinomio minimo deve dividere ogni polinomio che viene annullato dall'operatore lineare f_k, ossia

p\left(f_k\right)=0 \iff m | p


Date per buone queste premesse veniamo al tuo esercizio.

Abbiamo un operatore lineare non nullo f_k definito su uno spazio vettoriale V finitamente generato.

Sappiamo inoltre che f_k soddisfa le seguenti condizioni:

\\ f_k^3-k^2f_k=kId_V-f_k^2\\ \\ f_k^3-k^2f_k=f_k^2-k^2Id_V

ciò vuol dire che f_k è una radice dei seguenti polinomi

\\ p_1(t)=t^3-k^2t-k+t^2\\ \\ p_2(t)=t^3-k^2t-t^2+k^2

cioè sappiamo che p_1\left(f_k\right)=0 \mbox{ e } p_2\left(f_k\right)=0

Scomponiamo tali polinomi. Procedendo ad un raccoglimento parziale troviamo che

\\ \begin{align*}p_1(t) & = t^3-k^2t-k^2+t^2 = \\ & = t^2(t+1)-k^2(t+1) = \\ & = (t+1)(t^2-k^2) = \\ & = (t+1)(t-k)(t+k) \end{align*} \\ \\ \begin{align*}p_2(t) & = t^3-k^2t-t^2+k^2 = \\ & = t^2(t-1)-k^2(t-1) = \\ & = (t-1)(t^2-k^2) = \\ & = (t-1)(t-k)(t+k) \end{align*}

Per quanto prima ricordato, il polinomio minimo m associato all'operatore lineare f_k deve dividere ogni polinomio che ha f_k come radice, ossia deve dividere sia

p_1(t)=(t+1)(t-k)(t+k)

che

p_2(t)=(t-1)(t-k)(t+k)

Gli unici polinomi che che dividono sia p_1(t) che p_2(t) sono

m_1(t)=(t-k), \ m_2(t)=t^2-k^2 \mbox{ e } m_3(t)=(t+k)

Quindi il polinomio minimo associato ad f_k può assumere una delle tre precedenti forme.

Attenzione ora! Come abbiamo ricordato un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici di molteplicità pari ad 1 e ciò è vero se e solo se k\neq 0. Infatti se fosse k=0 si avrebbe

m_2(t)=t^2

che ha t_0=0 come radice di molteplicità 2.

Possiamo così concludere che l'operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se k \neq 0.

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby

Re: Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro #91577

avt
Kronoa
Cerchio
Ciao Galois. Mi è rimasto un piccolo dubbio:

\\ f_k^3-k^2f_k=kId_V-f_k^2\\ \\ f_k^3-k^2f_k=f_k^2-k^2Id_V

Che voleva intendere il prof con Id_V?

Perché quando ho letto l'esercizio mi aveva disorientato quel termine

Ti ringrazio! emt
Ringraziano: Galois

Re: Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro #91578

avt
Galois
Coamministratore
In generale, con Id_V si identica la funzione identità, ossia:

id_V: V \to V, \quad x \in V \mapsto id_V(x)=x

Tutto qui. emt
Ringraziano: Kronoa
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Os