Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro

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Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro #91559

Kronoa Cerchio	Vi posto un problema su un operatore lineare con parametro di cui devo studiare la diagonalizzabilità. Al variare di , sia assegnato un operatore lineare non nullo su uno spazio vettoriale finitamente generato . Si assuma che soddisfi le condizioni: per quali valori di l'operatore è diagonalizzabile? Grazie!

Re: Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro #91561

Galois

Amministratore

Come sempre accade, quest'esercizio è facilmente risolvibile se si hanno le giuste conoscenze teoriche.

Innanzitutto ricordiamo che un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ad esso associato ha tutte le radici nel campo in cui è definito e tali radici hanno tutte molteplicità algebrica pari ad 1.

Ricordiamo, a questo punto la definizione e le proprietà che caratterizzano il polinomio minimo di un operatore lineare:

si dice polinomio minimo per un operatore lineare

se:

-

ossia se

annulla tale polinomio;

- se

è un polinomio tale che

allora il grado del polinomio

è minore o uguale del grado del polinomio

.

- il coefficiente del termine di grado massimo di

è 1.

Ricordiamo inoltre che il polinomio minimo deve dividere ogni polinomio che viene annullato dall'operatore lineare

, ossia

Date per buone queste premesse veniamo al tuo esercizio.

Abbiamo un operatore lineare non nullo

definito su uno spazio vettoriale

finitamente generato.

Sappiamo inoltre che

soddisfa le seguenti condizioni:

f_k^3-k^2f_k = kId_V-f_k^2 ; f_k^3-k^2f_k = f_k^2-k^2Id_V

ciò vuol dire che

è una radice dei seguenti polinomi

p_1(t) = t^3-k^2t-k+t^2 ; p_2(t) = t^3-k^2t-t^2+k^2

cioè sappiamo che

Scomponiamo tali polinomi. Procedendo ad un raccoglimento parziale troviamo che

beginalign*p_1(t) = t^3-k^2t-k^2+t^2 = ; = t^2(t+1)-k^2(t+1) = ; = (t+1)(t^2-k^2) = ; = (t+1)(t-k)(t+k) endalign* ; beginalign*p_2(t) = t^3-k^2t-t^2+k^2 = ; = t^2(t-1)-k^2(t-1) = ; = (t-1)(t^2-k^2) = ; = (t-1)(t-k)(t+k) endalign*

beginalign*p_1(t) = t^3-k^2t-k^2+t^2 = ; = t^2(t+1)-k^2(t+1) = ; = (t+1)(t^2-k^2) = ; = (t+1)(t-k)(t+k) endalign* ; beginalign*p_2(t) = t^3-k^2t-t^2+k^2 = ; = t^2(t-1)-k^2(t-1) = ; = (t-1)(t^2-k^2) = ; = (t-1)(t-k)(t+k) endalign*

Per quanto prima ricordato, il polinomio minimo

associato all'operatore lineare

deve dividere ogni polinomio che ha

come radice, ossia deve dividere sia

che

Gli unici polinomi che che dividono sia

che

sono

Quindi il polinomio minimo associato ad

può assumere una delle tre precedenti forme.

Attenzione ora! Come abbiamo ricordato un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici di molteplicità pari ad 1 e ciò è vero se e solo se

. Infatti se fosse

si avrebbe

che ha

come radice di molteplicità 2.

Possiamo così concludere che l'operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se

.

È tutto! emt

Ringraziano: CarFaby

Re: Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro #91577

Kronoa Cerchio	Ciao Galois. Mi è rimasto un piccolo dubbio: Che voleva intendere il prof con ? Perché quando ho letto l'esercizio mi aveva disorientato quel termine Ti ringrazio!
	Ringraziano: Galois

Re: Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro #91578

Galois Amministratore	In generale, con si identica la funzione identità, ossia: Tutto qui.
	Ringraziano: Kronoa

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