Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro

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#91559

Kronoa

Cerchio

Vi posto un problema su un operatore lineare con parametro di cui devo studiare la diagonalizzabilità.

Al variare di , sia assegnato un operatore lineare non nullo su uno spazio vettoriale finitamente generato . Si assuma che soddisfi le condizioni:

f_k^3−k^2f_k = kId_V−f_k^2 ; f_k^3−k^2f_k = f_k^2−k^2Id_V

per quali valori di l'operatore è diagonalizzabile?

Grazie!

#91561

Galois

Amministratore

Come sempre accade, quest'esercizio è facilmente risolvibile se si hanno le giuste conoscenze teoriche.

Innanzitutto ricordiamo che un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ad esso associato ha tutte le radici nel campo in cui è definito e tali radici hanno tutte molteplicità algebrica pari ad 1.

Ricordiamo, a questo punto la definizione e le proprietà che caratterizzano il polinomio minimo di un operatore lineare:

si dice polinomio minimo per un operatore lineare se:

- ossia se annulla tale polinomio;

- se è un polinomio tale che allora il grado del polinomio è minore o uguale del grado del polinomio .

- il coefficiente del termine di grado massimo di è 1.

Ricordiamo inoltre che il polinomio minimo deve dividere ogni polinomio che viene annullato dall'operatore lineare , ossia

Date per buone queste premesse veniamo al tuo esercizio.

Abbiamo un operatore lineare non nullo definito su uno spazio vettoriale finitamente generato.

Sappiamo inoltre che soddisfa le seguenti condizioni:

f_k^3−k^2f_k = kId_V−f_k^2 ; f_k^3−k^2f_k = f_k^2−k^2Id_V

ciò vuol dire che è una radice dei seguenti polinomi

p_1(t) = t^3−k^2t−k+t^2 ; p_2(t) = t^3−k^2t−t^2+k^2

cioè sappiamo che

Scomponiamo tali polinomi. Procedendo ad un raccoglimento parziale troviamo che

beginalign*p_1(t) = t^3−k^2t−k^2+t^2 = ; = t^2(t+1)−k^2(t+1) = ; = (t+1)(t^2−k^2) = ; = (t+1)(t−k)(t+k) endalign* ; beginalign*p_2(t) = t^3−k^2t−t^2+k^2 = ; = t^2(t−1)−k^2(t−1) = ; = (t−1)(t^2−k^2) = ; = (t−1)(t−k)(t+k) endalign*

Per quanto prima ricordato, il polinomio minimo associato all'operatore lineare deve dividere ogni polinomio che ha come radice, ossia deve dividere sia

che

Gli unici polinomi che che dividono sia che sono

Quindi il polinomio minimo associato ad può assumere una delle tre precedenti forme.

Attenzione ora! Come abbiamo ricordato un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici di molteplicità pari ad 1 e ciò è vero se e solo se . Infatti se fosse si avrebbe