Esercizio operatore lineare diagonalizzabile con parametro

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#91559
avt
Kronoa
Cerchio

Vi posto un problema su un operatore lineare con parametro di cui devo studiare la diagonalizzabilità.

Al variare di k∈R, sia assegnato un operatore lineare non nullo f_k:V → V su uno spazio vettoriale finitamente generato V. Si assuma che f_k soddisfi le condizioni:

 f_k^3−k^2f_k = kId_V−f_k^2 ; f_k^3−k^2f_k = f_k^2−k^2Id_V

per quali valori di k l'operatore f_k è diagonalizzabile?

Grazie!

#91561
avt
Amministratore

Come sempre accade, quest'esercizio è facilmente risolvibile se si hanno le giuste conoscenze teoriche.

Innanzitutto ricordiamo che un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ad esso associato ha tutte le radici nel campo in cui è definito e tali radici hanno tutte molteplicità algebrica pari ad 1.

Ricordiamo, a questo punto la definizione e le proprietà che caratterizzano il polinomio minimo di un operatore lineare:

m si dice polinomio minimo per un operatore lineare f_k se:

- m(f_k) = 0 ossia se f_k annulla tale polinomio;

- se p è un polinomio tale che p(f_k) = 0 allora il grado del polinomio m è minore o uguale del grado del polinomio p.

- il coefficiente del termine di grado massimo di m è 1.

Ricordiamo inoltre che il polinomio minimo deve dividere ogni polinomio che viene annullato dall'operatore lineare f_k, ossia

p(f_k) = 0 ⇔ m | p

Date per buone queste premesse veniamo al tuo esercizio.

Abbiamo un operatore lineare non nullo f_k definito su uno spazio vettoriale V finitamente generato.

Sappiamo inoltre che f_k soddisfa le seguenti condizioni:

 f_k^3−k^2f_k = kId_V−f_k^2 ; f_k^3−k^2f_k = f_k^2−k^2Id_V

ciò vuol dire che f_k è una radice dei seguenti polinomi

 p_1(t) = t^3−k^2t−k+t^2 ; p_2(t) = t^3−k^2t−t^2+k^2

cioè sappiamo che p_1(f_k) = 0 e p_2(f_k) = 0

Scomponiamo tali polinomi. Procedendo ad un raccoglimento parziale troviamo che

 beginalign*p_1(t) = t^3−k^2t−k^2+t^2 = ; = t^2(t+1)−k^2(t+1) = ; = (t+1)(t^2−k^2) = ; = (t+1)(t−k)(t+k) endalign* ; beginalign*p_2(t) = t^3−k^2t−t^2+k^2 = ; = t^2(t−1)−k^2(t−1) = ; = (t−1)(t^2−k^2) = ; = (t−1)(t−k)(t+k) endalign*

Per quanto prima ricordato, il polinomio minimo m associato all'operatore lineare f_k deve dividere ogni polinomio che ha f_k come radice, ossia deve dividere sia

p_1(t) = (t+1)(t−k)(t+k)

che

p_2(t) = (t−1)(t−k)(t+k)

Gli unici polinomi che che dividono sia p_1(t) che p_2(t) sono

m_1(t) = (t−k), m_2(t) = t^2−k^2 e m_3(t) = (t+k)

Quindi il polinomio minimo associato ad f_k può assumere una delle tre precedenti forme.

Attenzione ora! Come abbiamo ricordato un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo ha tutte le radici di molteplicità pari ad 1 e ciò è vero se e solo se k ≠ 0. Infatti se fosse k = 0 si avrebbe

m_2(t) = t^2

che ha t_0 = 0 come radice di molteplicità 2.

Possiamo così concludere che l'operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se k ≠ 0.

È tutto! emt

Ringraziano: CarFaby
#91577
avt
Kronoa
Cerchio

Ciao Galois. Mi è rimasto un piccolo dubbio:

 f_k^3−k^2f_k = kId_V−f_k^2 ; f_k^3−k^2f_k = f_k^2−k^2Id_V

Che voleva intendere il prof con Id_V?

Perché quando ho letto l'esercizio mi aveva disorientato quel termine

Ti ringrazio! emt

Ringraziano: Galois
#91578
avt
Galois
Amministratore

In generale, con Id_V si identica la funzione identità, ossia:

id_V: V → V, x ∈ V ↦ id_V(x) = x

Tutto qui. emt

Ringraziano: Kronoa
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