Rango indice e segnatura di una forma quadratica

In questo esercizio devo calcolare rango, indice e segnatura di una forma quadratica. Vi posto un altro problema di algebra lineare:

sia lo spazio pseudoeuclideo definito dalla forma quadratica :



Calcolare rango, indice e segnatura di .

Dire se i vettori sono ortogonali oppure no in .

Infine, denotato con il sottospazio di definito dall'equazione , calcolare rango, indice e segnatura per lo spazio pseudoeuclideo indotto da per restrizione su .

Grazie tante!

Per calcolare rango, indice e segnatura dello spazio pseudoeuclideo definito dalla forma quadratica



dobbiamo anzitutto scrivere la matrice ad essa associata che è



Qualora avessi dubbi a riguardo, per scrivere tale matrice ci si può aiutare col seguente schemino



ricordandosi di dimezzare gli elementi che non fanno parte della diagonale principale.

Rango, indice e segnatura dello spazio pseudoeuclideo definito dalla forma quadratica si possono ottenere in due modi:

calcolando rango, indice e segnatura della matrice oppure calcolando rango, indice e segnatura della matrice diagonale che si ottiene dalla matrice applicando l'algoritmo di Gauss Lagrange (leggimi).

La scelta dell'uno o dell'altro metodo è quasi del tutto indifferente. Bene o male ciascuno dei due si porta indietro un po' di conti.

Adesso procederò con il secondo metodo, ossia ridurrò la matrice con l'algoritmo di Gauss Lagrange lasciando a te il compito di trovare rango, segnatura ed indice della matrice aiutandoti con le lezioni che ti ho linkato.

Quasi inutile dire che i risultati trovati dovranno coincidere.



La colonna non nulla con indice più basso è la prima, il cui pivot è .

Poiché rendiamo nulli tutti gli altri elementi della prima colonna sommando alle varie righe opportuni multipli della prima riga; sostituendo



si ottiene la matrice



Ripetiamo sulle colonne le stesse operazioni elementari che abbiamo appena effettuato sulle righe, ossia sostituiamo



ottenendo così la matrice diagonale



A questo punto è immediato vedere che:

il rango di tale matrice è pari a 2;

la sua segnatura è

ed il suo indice è

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Piccola osservazione prima di procedere oltre. La definizione di segnatura ed indice di una matrice varia da testo a testo e quindi da docente a docente.

Per quanto mi riguarda, la segnatura di una matrice è data dalla terna



dove indicano, rispettivamente, il numero di autovalori strettamente positivi, strettamente negativi e associati alla matrice.

Mentre l'indice della matrice è



Alcuni docenti, invece, definiscono la segnatura della matrice come la differenza tra ed mentre definiscono l'indice pari ad .

Seguendo tali definizioni, l'indice della matrice



è pari ad 1, mentre la sua segnatura sarà uguale a 0.

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Proseguiamo ora con l'esercizio.

Per dire se i vettori

sono ortogonali oppure no in basta calcolare il seguente prodotto riga per colonna



ossia



Ora



Quindi



Pertanto i due vettori sono ortogonali in .

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Sia ora il sottospazio di definito dall’equazione .

Così come spiegato nella lezione su come ricavare una base da un sistema lineare omogeneo (vedi caso particolare a fine articolo), ricaviamo una base per .

Posto dall'equazione otteniamo .

Pertanto il generico elemento del sottospazio sarà della forma



Possiamo così concludere che i vettori



formano una base per il sottospazio

Ora, lo spazio pseudoeuclideo indotto da per restrizione su si ottiene dalla seguente matrice



Calcoliamo tali prodotti.



Procedendo allo stesso modo troverai che



Pertanto la matrice cercata è



da cui è immediato vedere che ha rango 1, segnatura (1,0,0) ed indice pari ad 1.

Se invece si utilizzano le altre definizioni prima ricordate per segnatura ed indice avremo che la segnatura è pari ad 1, così come l'indice.

È tutto!

Ciao Galois mi è rimasto qualche piccolo dubbio :

1) "La colonna non nulla con indice più basso è la prima" con indice cosa intendi precisamente ? ed inoltre quando dici "Se la matrice così ottenuta ha una riga l’algoritmo termina" per una riga che intendi?

2) Ora, lo spazio pseudoeuclideo indotto da per restrizione su si ottiene dalla seguente matrice



per trovare quella matrice hai usato una formula particolare ?
cioè intendo i calcoli li ho capito come li hai fatti però ti volevo chiedere se esiste una regola per calcolare quella matrice

3)Per dire se i vettori

sono ortogonali oppure no in basta calcolare il seguente prodotto riga per colonna...

quindi se da oggi in poi devo controllare se i vettori sono ortogonali alla matrice devo far il prodotto riga per colonna ? oppure vale solo in questo caso?

4) non hai affiancato la matrice identità perché in questo esercizio è superflua ?

scusa le tante domande ma ho l'esame vicino grazie !

Rispondo con ordine.

Generalmente le colonne di una matrice si indicano con , dove i pedici si dicono indici.

Pertanto, indicando con la j-esima colonna, il suo indice è j.

Quindi occorre controllare, partendo dalla prima, le colonne della matrice. La prima colonna che vedi non nulla è quella con indice più basso.

Ad esempio, nella matrice



la prima colonna non nulla è ossia la colonna con indice 2.



Intendo dire che se la matrice data inizialmente o quella ottenuta dopo i vari passaggi dell'algoritmo è una matrice riga, ossia una matrice del tipo



allora l'algoritmo termina, ossia una matrice riga è già ridotta rispetto all'algoritmo di Gauss Lagrange.

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In generale, lo spazio pseudoeuclideo indotto da un prodotto scalare per restrizione su uno spazio vettoriale si ottiene disponendo in una matrice i prodotti scalari tra i vettori della matrice. Cioè, in generale, se è un prodotto scalare definito su e è un sottospazio di avente come base i vettori allora lo spazio pseudoeuclideo indotto da per restrizione su uno spazio vettoriale è dato da



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Dato un qualsiasi prodotto scalare , due vettori siano ortogonali se e solo se



Se disponi della matrice associata al prodotto scalare tale condizione si riduce a verificare che il prodotto riga per colonna



dove G è la matrice associata al prodotto scalare.

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Esattamente, alla matrice prima di applicare il processo di Gauss Lagrange non ho affiancato la matrice identità perché superflua.

Come puoi leggere nel topic che ti ho linkato, tale matrice dopo la riduzione si trasforma nella matrice che ci permette di trovare una base diagonalizzante per la forma quadratica, ma in questo esercizio non veniva richiesta, quindi non essendo necessario ci siamo risparmiati un po' di conticini.