Algoritmo di Gauss Lagrange per la diagonalizzazione di una forma quadratica

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Algoritmo di Gauss Lagrange per la diagonalizzazione di una forma quadratica #91508

avt
Pasqualino
Cerchio
Devo diagonalizzare una forma quadratica con l'algoritmo di Gauss Lagrange ma non so come procedere.

Il testo completo dell'esercizio è il seguente: si consideri la forma quadratica su \mathbb{R}^4 definita da

Q(x_1, x_2, x_3, x_4) = 2kx_1x_4 + 2x_2x_3

con k parametro reale.

(i) Determinare la matrice associata a Q rispetto alla base canonica.

(ii) Determinare rango e segnatura di Q al variare di k \in \mathbb{R}.

(iii) Diagonalizzare Q al variare di k \in \mathbb{R} esplicitando la base diagonalizzante usata.


Per il primo e il secondo punto non c'è problema:
la matrice associata alla forma quadratica è

G=\begin{pmatrix} 0 &0  &0  &k \\ 0 &0  &1  &0 \\ 0 &1  &0  &0 \\ k &0  &0  &0 \end{pmatrix}.

Il determinante di G vale k^2.

Quindi per k = 0 il rango di G è 2, mentre per k \neq 0, il rango
vale 4.

Per il calcolo della segnatura si può attendere la diagonalizzazione, o più semplicemente
si può dedurla dal polinomio caratteristico usando la regola dei segni di Cartesio.

Il polinomio caratteristico di Q è

p(x) = x^4-(k^2 + 1)x^2 + k^2.

Le sue radici sono 1, \ â1, \ k, \ -k.

Pertanto per k \neq 0 la segnatura è (2,2,0) mentre per k = 0 si ha (1,1,0).


Ora il problema è che il professore vuole che risolva il punto (iii) con l'algoritmo di Gauss-Lagrange in modo da ottenere una base diagonalizzante e la matrice diagonale che rappresenta la forma canonica di Sylvester, ma non so come procedere.

Inoltre vorrei sapere se data una forma quadratica per trovare la forma bilineare associata rispetto alla stessa base posso utilizzare la formula di polarizzazione, cioè

b(v,w)=\frac{1}{2}\left [ Q(v+w)-Q(v)-Q(w) \right ]\ ?
 
 

Re: Algoritmo di Gauss Lagrange per la diagonalizzazione di una forma quadratica #91518

avt
Galois
Coamministratore
Prima di vedere come si applica l'algoritmo di Gauss Lagrange per diagonalizzare una forma quadratica faccio qualche piccola precisazione sullo svolgimento della prima parte dell'esercizio da te proposta.

La matrice associata alla forma quadratica

Q(x_1, x_2, x_3, x_4) = 2kx_1x_4 + 2x_2x_3

è proprio

G=\begin{pmatrix} 0 &0  &0  &k \\ 0 &0  &1  &0 \\ 0 &1  &0  &0 \\ k &0  &0  &0 \end{pmatrix}

il cui determinante è proprio \mbox{det}(G)=k^2. Anche lo studio sul rango della matrice è corretto.

Qualcosa non torna, invece, sulla segnatura che, ricordo, in generale è data da

(n_+, n_-, n_0)

dove n_+, \ n_- \mbox{ e } n_0 indicano, rispettivamente, il numero degli autovalori associati alla matrice strettamente positivi, strettamente negativi e nulli.

Come ben dici, il polinomio caratteristico associato alla matrice è

p(x) = x^4-(k^2 + 1)x^2 + k^2.

Le sue radici, e quindi gli autovalori della matrice, sono 1, \ -1, \ k, \ -k.

Pertanto:

- per k=0 gli autovalori sono 1, \ -1, \ 0, \ 0 e quindi la segnatura è (1,1,2)

- per k \neq 0 la segnatura è invece data da (2,2,0).

Occhio che, per una delle proprietà della segnatura:

n_+ + n_- + n_0 = n

dove n è l'ordine della matrice. Quindi (1,1,0) (quella da te riportata nel caso k=0) non può essere la segnatura di una matrice di ordine 4.

-------------

Fatta questa premessa vediamo qual è l'algoritmo di Gauss Lagrange.

Passo 0)

Si associa alla matrice G la matrice identità avente lo stesso ordine della matrice G.

Passo 1)

1.1) Se la matrice così ottenuta ha una riga l’algoritmo termina; altrimenti:

1.2) individuare la colonna non nulla con indice più basso, ed il suo pivot a_{ij}; se non
esistono colonne non nulle la matrice è nulla e l’algoritmo termina qui; altrimenti:

1.3) se i = j passare ad 1.5; se i \neq j sostituire alla j-esima riga la somma tra la i-esima riga e la j-esima riga, e sostituire alla j-esima colonna la somma tra la j-esima colonna la i-esima colonna;

1.4) se dopo queste operazioni l’elemento di posto j,j è nullo, ripetere il passo 1.3),
altrimenti:

1.5) rendere nulli tutti gli altri elementi della colonna j-esima sommando alle varie righe opportuni multipli della j-esima riga;

1.6) ripetere sulle colonne le stesse operazioni elementari che sono state effettuate in 1.5) sulle righe, nello stesso ordine.

Passo 2)

Ripetere il Passo 1) sulla matrice ottenuta dal passo precedente schermandone le prime j righe e le prime j colonne.

Passo 3)

Ripetere il Passo 2 sulla matrice schermata.

---------------

Al termine di questo algoritmo si perviene ad una matrice del tipo:

[D | P]

dove D e’ una matrice diagonale e P è una matrice invertibile tale che

D=PGP^T

con P^T trasposta della matrice P

Inoltre i vettori aventi per componenti le righe della matrice P sono la base diagonalizzante cercata.

Applichiamolo alla matrice

G=\begin{pmatrix} 0 &0  &0  &k \\ 0 &0  &1  &0 \\ 0 &1  &0  &0 \\ k &0  &0  &0 \end{pmatrix}

supponendo che k\neq 0.

Associamo a tale matrice la matrice identica di ordine 4

\begin{pmatrix} 0 &0  &0  &k & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 &0  &1  &0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 &1  &0  &0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ k &0  &0  &0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

La colonna non nulla con indice più basso è la prima, il cui pivot è a_{41}=k\neq 0.

Poiché (i=4) \neq (j=1) scriviamo al posto della prima riga la somma tra la prima e la quarta riga

\begin{pmatrix} k &0  &0  &k & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 &0  &1  &0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 &1  &0  &0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ k &0  &0  &0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

e al posto della prima colonna la somma tra prima e quarta colonna

\begin{pmatrix} 2k &0  &0  &k & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 &0  &1  &0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 &1  &0  &0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ k &0  &0  &0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

Poiché a_{11}=2k \neq 0 passiamo al punto 1.5) dell'algoritmo. Rendiamo nulli tutti gli altri elementi della prima colonna sommando alla quarta riga opportuni multipli della prima. Sostituendo la quarta riga r_4 con r_1-2r_4 si ottiene la matrice

\begin{pmatrix} 2k &0  &0  &k & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 &0  &1  &0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 &1  &0  &0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 &0  &0  &k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Ripetiamo ora la stessa operazione sulle colonne. Avendo sostituito r_4 (quarta riga) con r_1-2r_4 (differenza tra prima riga e doppio della quarta) facciamo la stessa cosa sulle colonne, ossia sostituiamo la quarta colonna c_4 con c_1-2c_4 ottenendo

\begin{pmatrix} 2k &0  &0  &0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 &0  &1  &0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 &1  &0  &0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 &0  &0  &-2k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Applichiamo ora lo stesso procedimento alla matrice che si ottiene eliminando la prima riga e la prima colonna, ossia ripetiamo l'algoritmo alla matrice

\begin{pmatrix}0  &1  &0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1  &0  &0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0  &0  &-2k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

La colonna non nulla con indice più basso è la prima, il cui pivot è a_{21}=1\neq 0.

Poiché (i=2) \neq (j=1) scriviamo al posto della prima riga la somma tra la prima e la seconda riga

\begin{pmatrix}1  &1  &0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1  &0  &0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0  &0  &-2k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

e al posto della prima colonna la somma tra prima e seconda colonna

\begin{pmatrix}2  &1  &0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1  &0  &0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0  &0  &-2k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Poiché a_{11}=2 \neq 0 passiamo al punto 1.5) dell'algoritmo. Rendiamo nulli tutti gli altri elementi della prima colonna sommando alla seconda riga opportuni multipli della prima. Sostituendo

r_2 \mbox{ con } r_1-2r_2

si ottiene

\begin{pmatrix}2  &1  &0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0  &1  &0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0  &0  &-2k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Facciamo la stessa cosa sulle colonne sostituendo

c_2 \mbox{ con } c_1-2c_2

\begin{pmatrix}2  &0  &0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0  &-2  &0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0  &0  &-2k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Nuovamente applichiamo lo stesso procedimento alla matrice che si ottiene eliminando la prima riga e la prima colonna, ossia ripetiamo l'algoritmo alla matrice

\begin{pmatrix}-2  &0 & 0 & 1 & 1 & 0\\0  &-2k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

La colonna non nulla con indice più basso è la prima, il cui pivot è a_{11}=-2\neq 0.

Poiché (i=1) = (j=1) passiamo direttamente al punto 1.5). Osserviamo però che tutti gli altri elementi della j-esima (prima) colonna sono già nulli, quindi possiamo fermarci.

La matrice ridotta è quindi

\begin{pmatrix} 2k & 0  & 0  & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 2  & 0  & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0  & -2  & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0  & 0  & -2k & 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

Come possiamo osservare è formata da una matrice diagonale

D=\begin{pmatrix} 2k & 0  & 0  & 0 \\ 0 & 2  & 0  & 0 \\ 0 & 0  & -2  & 0 \\ 0 & 0  & 0  & -2k\end{pmatrix}

e da una matrice invertibile

P=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}

le cui righe sono le componenti dei vettori della base diagonalizzante, ossia

B=\{(1,0,0,1), \ (0,1,1,0), \ (0,1,-1,0), \ (1,0,0,-1)\}


Inoltre vorrei sapere se data una forma quadratica per trovare la forma bilineare associata rispetto alla stessa base posso utilizzare la formula di polarizzazione, cioè

b(v,w)=\frac{1}{2}\left [ Q(v+w)-Q(v)-Q(w) \right ]?


Sì, puoi procedere in tal modo. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os