Dimostrare uguaglianza tra immagine e complemento ortogonale del nucleo di un'isometria

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Dimostrare uguaglianza tra immagine e complemento ortogonale del nucleo di un'isometria #91506

avt
Pasqualino
Cerchio
Dovrei dimostrare il seguente teorema sull'uguaglianza tra immagine e complemento ortogonale del nucleo di un'isometria.

Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia g: V\times V \to \mathbb{R} una forma bilineare simmetrica definita positiva.

Se \phi :V \to V è un'isometria, si dimostri che

\mbox{Im}(\phi -id)=\mbox{ker}(\phi -id)^{\perp }


So che un'isometria è un'applicazione lineare

\phi:V\to V

tale che

\langle\phi (v),\phi (w)\rangle=\langle v,w\rangle

ma poi non so andare avanti.

Se è possibile vorrei sapere anche in questo contesto come si inseriscono particolari isometrie nello spazio euclideo come rotazioni e simmetrie, cioè vorrei sapere come faccio a stabilire se un'isometria è una rotazione o una simmetria o viceversa come faccio a determinare l'applicazione lineare che rappresenta un'isometria o una rotazione?
 
 

Dimostrare uguaglianza tra immagine e complemento ortogonale del nucleo di un'isometria #91515

avt
Galois
Coamministratore
Prima di procedere alla dimostrazione vera e propria del teorema richiamiamo i concetti teorici che ci serviranno.

Sappiamo che \phi: V \to V è un'isometria pertanto, per definizione:

g\left(\phi(v),\phi(w)\right)=g\left(v,w\right) \mbox{ per ogni } v,w \in V

dove g:V\times V \to \mathbb{R} è una forma bilineare simmetrica definita positiva o, più semplicemente, un prodotto scalare definito nel prodotto cartesiano V \times V.

Inoltre ricordiamo che il nucleo dell'applicazione lineare \phi - id è definito come

\mbox{Ker}(\phi-id)=\left\{v\in V \mbox{ t.c. } (\phi-id)(v)=0\right}

mentre l'immagine dell'applicazione lineare \phi-id è l'insieme:

\mbox{Im}(\phi-id):=\left\{v \in V \mbox{ t.c. } \exist w \in V \mbox{ per cui } (\phi-id)(w)=v\right\}

Infine il complemento ortogonale del sottospazio \mbox{Ker}(\phi-id) è

\mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}=\left\{v \in V \mbox{ t.c. } g(v,w)=0 \mbox{ per ogni } w \in \mbox{Ker}(\phi-id)\right\}


Alla luce di queste definizioni dimostriamo il teorema, ossia che

\mbox{Im}(\phi-id)=\mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}


Iniziamo col provare che

\mbox{Im}(\phi-id)\subseteq \mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}

Sia quindi v \in \mbox{Im}(\phi-id).

Per definizione di immagine esiste u\in V tale che (\phi-id)(u)=v.

Dobbiamo dimostrare che

v \in \mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}

ossia che

\underbrace{(\phi-id)(u)}_{=v} \in \mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}

il che equivale a dimostrare (per com'è definito il complemento ortogonale) che

g\left((\phi-id)(u),w\right)=0 \mbox{ per ogni } w \in \mbox{Ker}(\phi-id)

Sia allora w \in \mbox{Ker}(\phi-id). Per definizione di nucleo

\\ (\phi-id)(w)=0 \iff \phi(w)-id(w)=0 \iff \\ \\  \phi(w)-w=0 \iff \phi(w)=w \ (*)

Pertanto:

\begin{align*}g\left((\phi-id)(u),w\right) & = g\left(\phi(u),w\right)-g\left(id(u),w\right) = \\ & = g\left(\phi(u),w\right)-g\left(u,w\right) = \\ & = g\left(\phi(u),\phi(w)\right)-g\left(u,w\right) = \\ & =g\left(u,w\right)-g\left(u,w\right) = \\ & = 0\end{align*}

Nello specifico:

la prima uguaglianza vien fuori dalla definizione di forma bilineare;

la seconda discende dal fatto che, ovviamente, id(u)=u \mbox{ per ogni } u \in V;

la terza uguaglianza discende da (*);

la quarta dalla definizione di isometria.


Abbiamo così dimostrato che

\mbox{Im}(\phi-id)\subseteq \mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}

Ricordiamo ora che, per il teorema sulla nullità del rango:

\mbox{dim}\left[\mbox{Im}(\phi-id)\right] = \mbox{dim}\left[V\right]-\mbox{dim}\left[\mbox{Ker}(\phi-id)\right]

inoltre

\mbox{dim}\left[\mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}\right] = \mbox{dim}\left[V\right]-\mbox{dim}\left[\mbox{Ker}(\phi-id)\right]

dalle due relazioni precedenti segue che

\mbox{dim}\left[\mbox{Im}(\phi-id)\right] = \mbox{dim}\left[\mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}\right]

Dunque, poiché \mbox{Im}(\phi-id)\subseteq \mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp} ed i due sottospazi hanno la stessa dimensione, necessariamente

\mbox{Im}(\phi-id) = \mbox{Ker}(\phi-id)^{\perp}

Abbiamo concluso. emt

Per quanto riguarda la tua seconda domanda si potrebbe scrivere un vero e proprio trattato e, di certo, non è un argomento che si può trattare né in un topic né in una singola lezione.

Se può esserti d'aiuto mi posso solo limitare a consigliarti la lettura di queste dispense classificazione delle isometrie del piano e dello spazio.
Ringraziano: Omega
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Os