Dimostrare uguaglianza tra immagine e complemento ortogonale del nucleo di un'isometria

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot).
#91506
avt
Pasqualino
Cerchio

Dovrei dimostrare il seguente teorema sull'uguaglianza tra immagine e complemento ortogonale del nucleo di un'isometria.

Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia g: V×V → R una forma bilineare simmetrica definita positiva.

Se φ :V → V è un'isometria, si dimostri che

Im(φ−id) = ker(φ−id)^(perp)

So che un'isometria è un'applicazione lineare

φ:V → V

tale che

langleφ (v),φ (w) rangle = langle v,w rangle

ma poi non so andare avanti.

Se è possibile vorrei sapere anche in questo contesto come si inseriscono particolari isometrie nello spazio euclideo come rotazioni e simmetrie, cioè vorrei sapere come faccio a stabilire se un'isometria è una rotazione o una simmetria o viceversa come faccio a determinare l'applicazione lineare che rappresenta un'isometria o una rotazione?

#91515
avt
Galois
Amministratore

Prima di procedere alla dimostrazione vera e propria del teorema richiamiamo i concetti teorici che ci serviranno.

Sappiamo che φ: V → V è un'isometria pertanto, per definizione:

g(φ(v),φ(w)) = g(v,w) per ogni v,w ∈ V

dove g:V×V → R è una forma bilineare simmetrica definita positiva o, più semplicemente, un prodotto scalare definito nel prodotto cartesiano V×V.

Inoltre ricordiamo che il nucleo dell'applicazione lineare φ−id è definito come

Ker(φ−id) = v∈ V t.c. (φ−id)(v) = 0

mentre l'immagine dell'applicazione lineare φ−id è l'insieme:

Im(φ−id): = v ∈ V t.c. exist w ∈ V per cui (φ−id)(w) = v

Infine il complemento ortogonale del sottospazio Ker(φ−id) è

Ker(φ−id)^(perp) = v ∈ V t.c. g(v,w) = 0 per ogni w ∈ Ker(φ−id)

Alla luce di queste definizioni dimostriamo il teorema, ossia che

Im(φ−id) = Ker(φ−id)^(perp)

Iniziamo col provare che

Im(φ−id) ⊆ Ker(φ−id)^(perp)

Sia quindi v ∈ Im(φ−id).

Per definizione di immagine esiste u∈ V tale che (φ−id)(u) = v.

Dobbiamo dimostrare che

v ∈ Ker(φ−id)^(perp)

ossia che

(φ−id)(u) (= v) ∈ Ker(φ−id)^(perp)

il che equivale a dimostrare (per com'è definito il complemento ortogonale) che

g((φ−id)(u),w) = 0 per ogni w ∈ Ker(φ−id)

Sia allora w ∈ Ker(φ−id). Per definizione di nucleo

(φ−id)(w) = 0 ⇔ φ(w)−id(w) = 0 ⇔ ; φ(w)−w = 0 ⇔ φ(w) = w (*)

Pertanto:

beginalign*g((φ−id)(u),w) = g(φ(u),w)−g(id(u),w) = ; = g(φ(u),w)−g(u,w) = ; = g(φ(u),φ(w))−g(u,w) = ; = g(u,w)−g(u,w) = ; = 0 endalign*

Nello specifico:

la prima uguaglianza vien fuori dalla definizione di forma bilineare;

la seconda discende dal fatto che, ovviamente, id(u) = u per ogni u ∈ V;

la terza uguaglianza discende da (*);

la quarta dalla definizione di isometria.

Abbiamo così dimostrato che

Im(φ−id) ⊆ Ker(φ−id)^(perp)

Ricordiamo ora che, per il teorema sulla nullità del rango:

dim[Im(φ−id)] = dim[V]−dim[Ker(φ−id)]

inoltre

dim[Ker(φ−id)^(perp)] = dim[V]−dim[Ker(φ−id)]

dalle due relazioni precedenti segue che

dim[Im(φ−id)] = dim[Ker(φ−id)^(perp)]

Dunque, poiché Im(φ−id) ⊆ Ker(φ−id)^(perp) ed i due sottospazi hanno la stessa dimensione, necessariamente

Im(φ−id) = Ker(φ−id)^(perp)

Abbiamo concluso. emt

Per quanto riguarda la tua seconda domanda si potrebbe scrivere un vero e proprio trattato e, di certo, non è un argomento che si può trattare né in un topic né in una singola lezione.

Se può esserti d'aiuto mi posso solo limitare a consigliarti la lettura di queste dispense: classificazione delle isometrie del piano e dello spazio.

Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1