Area di una superficie definita da una equazione

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Area di una superficie definita da una equazione #91502

avt
Beerk
Punto
In questo esercizio devo calcolare l'area della superficie definita dalla seguente equazione

z=1-\sqrt{x^2+y^2}

ed individuata dalle condizioni

x^2+y^2\leq R^2\ \ ;\ \ x\geq 0

Come si dovrebbe procedere?
Grazie mille
 
 

Re: Area di una superficie definita da una equazione #91504

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'esercizio e calcolare l'area della superficie richiesta seguiremo fedelmente le indicazioni riportate nella lezione sugli integrali di superficie.

L'unica difficoltà in questo tipo di esercizi consiste nell'individuare la parametrizzazione più conveniente per la superficie e impostare correttamente il calcolo. Per il resto si procede con il pilota automatico. emt

Qui per fortuna abbiamo a che fare con un'equazione discretamente mansueta, che descrive una superficie conica:

z=1-\sqrt{x^2+y^2}

area di una superficie conica

Ci tengo a precisare che il riconoscimento del tipo di superficie è un passaggio che:

- non è sempre possibile;

- ove possibile ed ove siamo in grado di effettuarlo, può semplificare i calcoli;

- in generale non è necessario perché possiamo ragionare sulla forma algebrica dell'equazione.

Nel nostro caso è veramente semplice intuire, sia dall'equazione che dalle ulteriori condizioni, che le coordinate cilindriche fanno al caso nostro:

\begin{cases}x=\rho\cos(\theta)\\ y=\rho\sin(\theta)\\ z=z\end{cases}\mbox{ con }\begin{matrix}\rho\in [0, +\infty)\\ \theta\in [0, 2\pi)\\ z\in (-\infty, +\infty)\end{matrix}

Ragioniamo per un attimo sulla regione di spazio individuata dalle condizioni aggiuntive. Abbiamo:

1] una disequazione in due incognite che individua la parte interna della circonferenza di raggio R, frontiera inclusa

x^2+y^2\leq R^2

2] Il semipiano ad ascisse positive, frontiera inclusa

x\geq 0

Ricordando che le condizioni si riferiscono allo spazio tridimensionale, poiché non compare la variabile z abbiamo rispettivamente a che fare con un cilindro e con il semispazio ad ascisse positive.

A titolo puramente esemplificativo: rappresentazione della sezione orizzontale del cilindro con R=1

condizioni esercizio area superficie

Noi vogliamo calcolare l'area della superficie data dall'intersezione tra la superficie completa e la regione di spazio semi-cilindrica.

Riscriviamo le suddette condizioni in coordinate cilindriche

\begin{cases}\rho^2\leq R^2\\ \rho\cos(\theta)\geq 0\end{cases}

Tenendo presente l'intervallo di variabilità di \theta e che per definizione \rho\geq 0

\begin{cases}\rho\leq R\\ 0\leq \theta\leq\frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}\leq \theta<2\pi\end{cases}

L'equazione diventa invece

z=1-\rho

Noi fin qui abbiamo parlato di equazione, e va benissimo; in realtà quella che abbiamo appena scritto è l'espressione analitica della funzione z=g(\rho,\theta) il cui grafico corrisponde alla superficie.

Ciò ci induce ad adottare la parametrizzazione naturale della superficie \varphi:

\varphi(\rho,\theta)=(\rho,\theta,g(\rho,\theta))

vale a dire

\varphi(\rho,\theta)=(\rho,\theta,1-\rho)

Detto D il dominio della parametrizzazione, l'integrale per l'area della superficie è dato da

\iint_D ||N(\rho,\theta)||d\rho d\theta

dove N(\rho,\theta) indica il vettore normale alla superficie nel punto (\rho,\theta) e si calcola come

N(\rho,\theta)=\varphi_\rho(\rho,\theta) \times \varphi_\theta(\rho,\theta)

con \varphi_\rho, \varphi_\theta i vettori delle derivate di \varphi rispetto a \rho e a \theta, rispettivamente.

\\ \varphi_\rho(\rho,\theta)=(1,0,-1)\\ \\ \varphi_\theta(\rho,\theta)=(0,1,0)

Calcoliamone il prodotto vettoriale (ometto il semplice conto)

N(\rho,\theta)=(1,0,-1)\times (0,1,0)=(1,0,1)

Curioso, no? In coordinate cilindriche il vettore normale alla superficie è costante e non dipende dal punto (\rho,\theta) considerato.

Da ultimo determiniamo la norma del vettore normale

||N(\rho,\theta)||=||(1,0,1)||=\sqrt{2}

Abbiamo così tutto quello che ci serve per impostare l'integrale per l'area:

\\ \iint_D ||N(\rho,\theta)||d\rho d\theta=\\ \\ \\ =\int_{0}^{R}\int_{\{0\leq \theta\leq \frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}\leq \theta\leq 2\pi\}}\sqrt{2}d\theta d\rho=

Grazie ad una nota proprietà degli integrali

=\int_0^R\left[\int_0^\frac{\pi}{2}\sqrt{2}d\theta d\rho+\int_\frac{3\pi}{2}^{2\pi}\sqrt{2}d\theta d\rho\right]=

e con semplici calcoli

\\ =\int_0^R\left[\sqrt{2}\left(\frac{\pi}{2}-0\right)+\sqrt{2}\left(2\pi-\frac{3\pi}{2}\right)\right]d\rho=\\ \\ \\ =2\sqrt{2}\frac{\pi}{2}\int_0^R d\rho=\\ \\ \\ =\sqrt{2}\pi R
Ringraziano: Galois, CarFaby
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