Sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima

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Sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima #91492

avt
Pasqualino
Cerchio
Ho alcuni dubbi sui vettori isotropi, in particolare vorrei capire come si determina un sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima.

Il testo dell'esercizio è il seguente:

sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione 3 e sia \left \{ v_{1},v_{2},v_{3} \right \} una sua base.

Si consideri la forma bilineare simmetrica g di matrice

G=\begin{pmatrix} -3 &1  &0 \\ 1 &2  &-1 \\ 0 &-1  &-1 \end{pmatrix}

rispetto alla base data.

(1) Verificare che g è non degenere e trovare una base ortogonale di V relativamente a g.

(2) Calcolare l'indice di inerzia i(g).

(3) Dire se esistono vettori isotropi non nulli relativamente a g e, in caso affermativo, determinare un sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima.



Le prime 3 richieste non sono un problema; ho proceduto in questo modo:

il determinante della matrice G è pari a 10, cioè è diverso da 0, quindi g è non degenere.

Poi, poiché g(v_{1},v_{1})=-3, \ v_1 non è isotropo e quindi possiamo prenderlo come primo vettore della base ortogonale.

Poniamo w_1=v_1 e osserviamo che

g(v_{1},v_{3})=0

Quindi possiamo considerare come secondo vettore w_2=v_3.

Per il terzo vettore poniamo

w_{3}=t_{1}v_{1}+t_{2}v_{2}+t_{3}v_{3}

ed imponiamo che w_3 sia ortogonale sia a w_1 che a w_2 ottenendo così il seguente sistema:

\begin{cases} g(w_{1},w_{3})=-3t_{1}+t_{2}=0 \\ g(w_{2},w_{3})=-t_{2}-t_{3}=0 \end{cases}

Da tale sistema ricavo

t_{1}=\frac{1}{3}t_{3} \mbox{ e } t_{2}=-t_{3}.

Scelgo, per semplicità, t_3=3 ed ottengo il vettore

w_{3}=-v_{1}-3v_{2}+3v_{3}.

Inoltre g(w_{3},w_{3})=30.

Allora la base ortogonale cercata è

\left \{ w_{1},w_{2},w_{3} \right \}

e la matrice rispetto a tale base è

\begin{pmatrix} -3 &0  &0 \\ 0 &-1  &0 \\ 0 &0  &30 \end{pmatrix}.

Deduco allora che l'indice di inerzia è

i(g)=1-2=-1

Poiché la segnatura è (1,2,0) la forma bilineare è indefinita.

Ho letto nel forum che se una forma bilineare è definita positiva o negativa di certo non ammette vettori isotropi.

Se è semidefinita negativa o semidefinita positiva i vettori isotropi sono quelli del radicale ( primo dubbio: il radicale è il complemento ortogonale? In tal caso mi basta trovare il complemento ortogonale dei vettori della base?)

Se è indefinita ammette vettori isotropi , ma non so come trovarli (secondo dubbio).

Terzo dubbio: non capisco come procedere per rispondere all'ultima domanda, cioè come determinare un sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima.

Chiedo scusa per essere stato troppo prolisso, però ho voluto scrivere anche la mia risoluzione per dare un senso ai miei dubbi.
 
 

Re: Sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima #91496

avt
Galois
Coamministratore
Procediamo con ordine.

Il punto (1) e (2) dell'esercizio li hai svolti correttamente. Per la cronaca, un modo alternativo di procedere per determinare il terzo vettore w_3 della base ortogonale di V relativamente a g sarebbe stato il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt così come spiegato nel seguente topic: indice d'inerzia di una forma bilineare.

Detto ciò passiamo alla parte che ti crea problemi, ossia vediamo come affrontare il punto (3) dell'esercizio dato:

(3) Dire se esistono vettori isotropi non nulli relativamente a g e, in caso affermativo, determinare un sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima.


Come hai ben detto e come accuratamente spiegato nel topic sul vettore isotropo per un prodotto interno, se la forma bilineare (come nel nostro caso) è indefinita allora ammette vettori isotropi non nulli.

Per trovarli basta ricordare la definizione di vettore isotropo:

Un vettore v appartenente ad uno spazio vettoriale V è un vettore isotropo rispetto alla forma bilineare g se e solo se g(v,v)=0

Alla luce di ciò, avendo trovato una base ortogonale \{w_1,w_2,w_3\} di V rispetto a g, possiamo affermare che un vettore isotropo u non nullo relativo a g sarà della forma

u=\lambda_1 w_1+\lambda_2 w_2+\lambda_3 w_3

e dovrà verificare la condizione

g(u,u)=0

ossia

-3\lambda_1^2-\lambda_2^2+30\lambda_3^2=0

che ha, ovviamente, soluzioni reali non nulle.

---------

Ora, per il prosieguo dell'esercizio è necessario conoscere il seguente teorema sulla dimensione dei sottospazi totalmente isotropi:

Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita pari ad n e sia Q una forma quadratica su V con g forma bilineare associata e non degenere.

Se p è l'indice di positività di Q ed n-p è l'indice di negatività di Q allora tutti i sottospazi totalmente isotropi massimali di V hanno la stessa dimensione;

inoltre tale dimensione è il minimo tra p \mbox{ ed } n-p.


Come possiamo facilmente osservare l'esercizio in esame soddisfa tutte le ipotesi del teorema appena enunciato.

Sapendo inoltre che, nel nostro caso, l'indice di positività è pari ad 1 e l'indice di negatività è pari a 2, possiamo affermare che i sottospazi totalmente isotropi hanno dimensione massima pari ad uno.

Quindi, per determinare un sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima è sufficiente trovare un vettore isotropo non nullo.

Abbiamo già osservato che tali vettori sono della forma

u=\lambda_1 w_1+\lambda_2 w_2+\lambda_3 w_3

e devono verificare la condizione

-3\lambda_1^2-\lambda_2^2+30\lambda_3^2=0

Quindi, ad esempio,

u=\sqrt{30}w_2+w_3

è uno di tali vettori.

Poiché i sottospazi totalmente isotropi hanno dimensione 1 possiamo concludere che, ad esempio, U=\langle u \rangle è un sottospazio totalmente isotropo di dimensione massima. Quasi inutile dire che tale sottospazio non è unico.


Concludo rispondendo all'ultimo tuo dubbio:

il radicale è il complemento ortogonale? In tal caso mi basta trovare il complemento ortogonale dei vettori della base?


Dato uno spazio vettoriale V munito di un prodotto scalare \phi, il radicale di \phi è definito come il sottospazio formato dai vettori che sono ortogonali a qualsiasi vettore di V, quindi:

\mbox{Rad}(\phi)=V^{\perp}

dove V^{\perp} è il complemento ortogonale.

Quindi per trovare i vettori isotropi dovrai trovare una base del complemento ortogonale ed i vettori isotropi li esprimerai come combinazione lineare dei vettori della base trovata. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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