Stabilire se quattro punti formano un sistema di riferimento affine

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Stabilire se quattro punti formano un sistema di riferimento affine #91473

avt
Pasqualino
Cerchio
Come si fa a stabilire se quattro punti formano un sistema di riferimento affine?

Il testo dell'esercizio recita: fissato un sistema di riferimento affine A^{3} considera i punti

\\ P_{0}=(1,2,3)\ ;\ P_{1}=(1,1,1)\ ;\ P_{2}=(2,-1,0)\ ;\ P_{3}=(0,1,1)\\ \\ \\ Q_{0}=(3,6,2)\ ;\ Q_{1}=(3,3,2)\ ;\ Q_{2}=(1,0,-1)\ ;\ Q_{3}=(2,3,2)

Dimostra che P_{0}, \ P_{1}, \ P_{2}\mbox{ e } P_{3} formano un sistema di riferimento affine e così pure Q_{0} \ Q_{1} \ Q_{2}\mbox{ e } Q_{3}.

Trova l'unica affinità di A^{3} in sé che manda P_{j} \mbox{ in }Q_{j} \mbox{ per }j=0,...,3.
 
 

Stabilire se quattro punti formano un sistema di riferimento affine #91478

avt
Galois
Coamministratore
Un sistema di riferimento affine è una (n+1)-upla di punti (P_0,P_1,...,P_n) di A^n tali che

P_1-P-0, P_2-P_0, ..., P_n-P_0

siano n vettori linearmente indipendenti.

Nell'esercizio proposto:

\\ P_0=(1,2,3) \\ \\ P_1=(1,1,1) \\ \\ P_2=(2,-1,0) \\ \\ P_3=(0,1,1)

da cui

\\ P_1-P_0=(0,-1,-2) \\ \\ P_2-P_0=(1,-3,-3) \\ \\ P_3-P_0=(-1,-1,-2)

Poiché il la matrice avente come righe (o colonne) le componenti dei tre vettori trovati ha determinante non nullo possiamo concludere che i punti P_0, \ P_1, \ P_2 \mbox{ e } P_3 formano un sistema di riferimento affine.

In modo del tutto analogo si procede per i punti Q_0,\ \ Q_1, \ Q_2 \mbox{ e } Q_3.

------------

Per trovare l'affinità di A^3 che manda

P_j \mbox{ in } Q_j \mbox{ per ogni } j \in \{0,1,2,3\}

basta ricordare la definizione di trasformazione affine che è una composizione tra un'applicazione lineare ed una traslazione.

Esplicitamente, una trasformazione affine

f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m

è una trasformazione del tipo

x\in \mathbb{R}^n \mapsto Ax+b

con A\in \mathbb{R}^{m,n} \mbox{ e } b \in \mathbb{R}^m


Nel nostro caso, poiché l'applicazione cercata deve mandare P_j \mbox{ in } Q_j e di tali punti conosciamo le coordinate, basta imporre che sia:

\\ \underbrace{\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}}_{Q_0}=\underbrace{\begin{pmatrix}a & b & c \\ d&e&f \\ g&h&i\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}}_{P_0}+\underbrace{\begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}}_{b} \\ \\ \\ \underbrace{\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}}_{Q_1}=\underbrace{\begin{pmatrix}a & b & c \\ d&e&f \\ g&h&i\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}}_{P_1}+\underbrace{\begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}}_{b}

\underbrace{\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}}_{Q_2}=\underbrace{\begin{pmatrix}a & b & c \\ d&e&f \\ g&h&i\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix}}_{P_2}+\underbrace{\begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}}_{b} \\ \\ \\ \underbrace{\begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}}_{Q_3}=\underbrace{\begin{pmatrix}a & b & c \\ d&e&f \\ g&h&i\end{pmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}}_{P_3}+\underbrace{\begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}}_{b}

Svolgendo i prodotti riga per colonna e la somma tra matrici otteniamo

\\ \begin{cases}a+2b+3c+x_0=3 \\ d+2e+3f+y_0=6 \\ g+2h+3i+z_0=2\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}a+b+c+x_0=3 \\ d+e+f+y_0=3 \\ g+h+i+z_0=2 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}2a-b+x_0=1 \\ 2d-e+y_0=0 \\ 2g-h+z_0=-1\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}b+c+x_0=2 \\ e+f+y_0=3 \\ h+i+z_0=3\end{cases}

mettendo assieme si ricade in un sistema lineare di 12 equazioni in 12 incognite.

Non facciamoci spaventare però. Fortunatamente, proprio per com'è stato ottenuto, la prima equazione di ogni sistema dipende dalle stesse quattro incognite, così come le seconde e le terze equazioni di ognuno dei quattro sistemi.

Morale della favola, considerando la prima equazione di ognuno dei 4 sistemi precedenti, si ottiene un sistema lineare di 4 equazioni in 4 incognite facilmente risolvibile, così come considerando la seconda equazioni di ogni sistema e la terza.

La risoluzione di tali sistemi (che lascio a te) ci fornirà il valore dei 12 parametri che permetteranno di scrivere l'applicazione affine cercata. emt
Ringraziano: Omega, CarFaby
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