Immagine di un'applicazione affine

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Immagine di un'applicazione affine #91462

avt
Pasqualino
Cerchio
Buonasera, come si calcola l'immagine di un'applicazione affine? Il testo dell'esercizio è il seguente: sia data la funzione affine

g(x,y)=(x-y-1,2x-2y,1)

sia L l'immagine di g. Trovare equazioni parametriche e dimensione di L.

Il problema è che non riesco a capire come scrivere la matrice di g; cioè se ho una funzione lineare il problema non si pone, ma in questo caso, essendo una funzione affine della forma Ax+P ( con A matrice quadrata e P vettore) non riesco a capire come devo scrivere la matrice.

Probabilmente è una domanda banale però non riesco proprio a capire. Grazie in anticipo!
 
 

Re: Immagine di un'applicazione affine #91466

avt
Galois
Coamministratore
Per trovare l'immagine di un'applicazione affine

g:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2

basta scriverla nella forma

g(x,y)=f(x,y)+(x_0,y_0,z_0)

con f applicazione lineare.

Fatto ciò, per trovare l'immagine di g basterà trovare l'immagine dell'applicazione lineare f per poi traslarla di (x_0,y_0,z_0).


Nel caso in esame

g(x,y)=(x-y-1,2x-2y,1)=(x-y,2x-2y,0)+(-1,0,1)

Abbiamo così ricavato l'applicazione lineare

f(x,y)=(x-y,2x-2y,0)

la cui matrice associata è

A_f=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & -2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}

Da tale matrice possiamo immediatamente ricavare dimensione e una base dell'immagine di f.

Poiché il rango della matrice A_f è pari ad 1, tale sarà la dimensione dell'immagine di f ed una sua base è

B_{Im(f)}=\{(1,2,0)\}

Pertanto l'equazione parametrica di \mbox{Im}(f) è (leggi: equazioni cartesiane da un sistema di generatori):

\begin{cases}x=t \\ y=2t \\ z=0 \end{cases}

Applicando una traslazione di vettore

(x_0,y_0,z_0)=(-1,0,1)

otteniamo l'equazione parametrica cercata per l'immagine dell'applicazione affine g, ossia

\begin{cases}x=t-1 \\ y=2t \\ z=1 \end{cases}

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby

Re: Immagine di un'applicazione affine #91474

avt
Pasqualino
Cerchio
Grazie mille, chiarissimo emt
Ringraziano: Galois
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Os