Trovare una base dalle coordinate di vettori rispetto alla base

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Trovare una base dalle coordinate di vettori rispetto alla base #91415

avt
Kronoa
Cerchio
Devo trovare i vettori di una base conoscendo le coordinate di altri vettori rispetto a tale base. Il testo dell'esercizio è il seguente:

Sia \beta =(b_1,b_2,b_3) una base di \mathbb{R}_{3}.

Sapendo che le coordinate del vettore (1,1,1) rispetto la base \beta sono (3,2,1)^T , quelle di (1,1,0) sono (2,1,0)^T e quelle di (1,0,0) sono (3,1,1)^T, determinare i vettori di \beta.

Vi ringrazio!
 
 

Trovare una base dalle coordinate di vettori rispetto alla base #91426

avt
Galois
Coamministratore
Dobbiamo trovare le coordinate dei tre vettori b_1, \ b_2 \mbox{ e } b_3 che formano la base B sapendo che

\\ (1,1,1) = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}_B \\ \\ \\  (1,1,0) = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B \\ \\ \\ (1,0,0) = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_B

Osserviamo che i tre vettori

(1,1,1), \quad (1,1,0), \quad (1,0,0)

formano una base di \mathbb{R}^3 in quanto sono 3 vettori linearmente indipendenti.

Indicata con C tale base

C=\left\{(1,1,1), \ (1,1,0), \ (1,0,0)\right\}

dai dati forniti dal problema sappiamo che

M_{C}^{B}=\begin{pmatrix}3 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

ossia

\begin{pmatrix}3 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

è la matrice di cambiamento di base dalla base C alla base B.


Quindi, ricapitolando, conoscendo la matrice di cambiamento di base da C \mbox{ a } B e conoscendo i vettori della base C dobbiamo trovare i vettori della base B.


Domanda: com'è fatta la matrice del cambiamento di base da C \mbox{ a } B?

Come ampiamente spiegato nella lezione dell'ultimo link, la matrice del cambiamento di base da B \mbox{ a } C si ottiene disponendo per colonne i coefficienti della combinazione lineare che permettono di scrivere i vettori della base C come combinazione lineare dei vettori della base B.

Pertanto dovrà essere

\\ (1,1,1)=3b_1+2b_2+b_3 \\ \\ (1,1,0)=2b_1+b_2 \\ \\ (1,0,0)=3b_1+b_2+b_3

ossia

\begin{cases}(1,1,1)=3b_1+2b_2+b_3 \\ (1,1,0)=2b_1+b_2 \\ (1,0,0)=3b_1+b_2+b_3 \end{cases}

Attenzione ora..

b_1, \ b_2 \mbox{ e } b_3 sono vettori di \mathbb{R}^3, ossia imponiamo

\\ b_1:=(x_1,y_1,z_1) \\ \\ b_2:=(x_2,y_2,z_2) \\ \\ b_3:=(x_3,y_3,z_3)

Alla luce di ciò la prima equazione del precedente sistema

(1,1,1)=3b_1+2b_2+b_3

equivale a

(1,1,1)=3(x_1,y_1,z_1)+2(x_2,y_2,z_2)+(x_3,y_3,z_3)

ossia

\begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=1 \\ 3y_1+2y_2+y_3=1 \\ 3z_1+2z_2+z_3=1\end{cases}

La seconda equazione

(1,1,0)=2b_1+b_2

si scrive come

\begin{cases}2x_1+x_2=1 \\ 2y_1+y_2=1 \\ 2z_1+z_2=0\end{cases}

ed infine la terza equazione

(1,0,0)=3b_1+b_2+b_3

equivale al sistema

\begin{cases}3x_1+x_2+x_3=1 \\ 3y_1+y_2+y_3=0 \\ 3z_1+z_2+z_3=0\end{cases}

Morale della favola il sistema

\begin{cases}(1,1,1)=3b_1+2b_2+b_3 \\ (1,1,0)=2b_1+b_2 \\ (1,0,0)=3b_1+b_2+b_3 \end{cases}

equivale al seguente sistema lineare di 9 equazioni in 9 incognite

\begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=1 \\ 3y_1+2y_2+y_3=1 \\ 3z_1+2z_2+z_3=1 \\ 2x_1+x_2=1 \\ 2y_1+y_2=1 \\ 2z_1+z_2=0 \\ 3x_1+x_2+x_3=1 \\ 3y_1+y_2+y_3=0 \\ 3z_1+z_2+z_3=0\end{cases}

Non facciamoci spaventare dalla mole del sistema! È molto più semplice di quello che sembra..

Infatti possiamo osservare che vi sono tre blocchi di tre equazioni che dipendono da tre incognite:

\\ (1) \ \begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=1 \\ 2x_1+x_2=1 \\ 3x_1+x_2+x_3=1\end{cases} \\ \\ \\ (2) \ \begin{cases}3y_1+2y_2+y_3=1 \\ 2y_1+y_2=1 \\ 3y_1+y_2+y_3=0 \end{cases} \\ \\ \\ (3) \ \begin{cases}3z_1+2z_2+z_3=1 \\ 2z_1+z_2=0 \\ 3z_1+z_2+z_3=0\end{cases}

Ci siamo così ricondotti a tre semplicissimi sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite. Risolviamo il primo

(1) \ \begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=1 \\ 2x_1+x_2=1 \\ 3x_1+x_2+x_3=1\end{cases}

Sottraendo la terza equazione dalla prima si ottiene

x_2=0

da cui, sostituendo nella terza equazione

x_1=\frac{1}{2}

ed infine sostituendo tali valori nella prima

x_3=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}


Dal secondo sistema, procedendo allo stesso identico modo si ricava

y_1=0, \ y_2=1, \ y_3=-1

Ed infine dal terzo sistema abbiamo

z_1=-\frac{1}{2}, \ z_2=1, \ z_3=\frac{1}{2}

Possiamo così concludere che

\\ b_1:=(x_1,y_1,z_1)=\left(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right) \\ \\ \\ b_2:=(x_2,y_2,z_2)=\left(0,1,1\right)\\ \\ \\ b_3:=(x_3,y_3,z_3)=\left(-\frac{1}{2},-1,\frac{1}{2}\right)

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, Kronoa
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Os