Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni fratte

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Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni fratte #91401

avt
judd79
Cerchio
Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della seguente successione di funzioni

\{f_n(x)\}=\left\{\frac{1}{n^2x^2-1}\right\}_n\ \ \ n\geq 0

Riferimento: tema d'esame 22/01/2016 esercizio numero 1.
 
 

Re: Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni fratte #91405

avt
Omega
Amministratore
Chiudiamo in bellezza la grande tranche di topic one-shot che hai ordinato con un esercizio semi-impegnativo sulle successioni di funzioni.

\{f_n(x)\}_n=\left\{\frac{1}{n^2x^2-1}\right\}_n\ \ \ n\geq 0

La prima cosa da fare consiste nel determinare il dominio di ciascuna delle funzioni della successione, quindi consideriamo f_n(x) con n fissato

f_n(x)=\frac{1}{n^2x^2-1}

Il denominatore non può annullarsi

n^2x^2-1\neq 0\ \to\ x\neq \pm \frac{1}{n}

Quindi il dominio dell'n-esima funzione è dato da

\left(-\infty,-\frac{1}{n}\right)\cup\left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\cup\left(\frac{1}{n},+\infty\right)

ad eccezione di f_0(x), che è definita ovunque ed identicamente uguale a -1.

A questo punto dobbiamo chiederci: su quale insieme ha senso studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della successione di funzioni? Bé, al più sull'insieme su cui tutte le funzioni f_n(x) sono definite.

Poiché \frac{1}{n}\to 0 ed è una successione decrescente, ci basta considerare

A=(-\infty,-1)\cup(+1,+\infty)

Ora studiamo la convergenza puntuale e vediamo se esiste un limite di convergenza puntuale. Considerando la x come un valore fissato, dobbiamo calcolare

f(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)

Se fissiamo x\in A non è difficile rendersi conto che

f(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2x^2-1}=0

infatti basta ragionare con le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi (costante fratto infinito).

Il limite di convergenza puntuale su A è f(x)=0, alias la funzione identicamente nulla.

Studiamo la convergenza uniforme di f_n ad f. Affinché essa sussista, deve essere verificata la condizione

\lim_{n\to +\infty}\mbox{sup}_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|=0

Calcoliamo il sup considerando n fissato

\mbox{sup}_{\{x<-1\}\cup\{x>1\}}|f_n(x)-f(x)|=\mbox{sup}_{x\in \{x<-1\}\cup\{x>1\}}\left|\frac{1}{n^2x^2-1}\right|

Per ricavare il sup conviene effettuare un velocissimo studio di funzione di y=\frac{1}{n^2x^2-1} sull'insieme A. Non mi dilungherò particolarmente sui calcoli. Con semplici conti ci si rende immediatamente conto che:

- è una funzione pari, dunque simmetrica rispetto all'asse x;

- è positiva su A;

- e che

\lim_{x\to +\infty}f_n(x)=0

- infine, attenzione attenzione

\\ \lim_{x\to 1^+}f_n(x)=-1\ \ \ \mbox{se }n=0\\ \\ \lim_{x\to 1^+}f_n(x)=+\infty\ \ \ \mbox{se }n=1\\ \\ \lim_{x\to 1^+}f_n(x)=\frac{1}{n^2-1}\ \ \ \mbox{se }n>1

- Essa inoltre è una funzione decrescente per x>1, ergo crescente per x<-1, se n>0, mentre è una funzione costante se n=0.

Morale della favola: poiché per n=1 la funzione diverge positivamente nell'intorno destro di x=1 e nell'intorno sinistro di x=-1, la quantità di cui vogliamo determinare il sup non è definita per ogni n>0.

Possiamo però ovviare al problema considerando la successione di funzioni

\{f_n(x)\}_n=\left\{\frac{1}{n^2x^2-1}\right\}_n\ \ \ n> 1

Nel qual caso possiamo anche estendere l'insieme in esame includendo gli estremi

\mbox{sup}_{\{x\leq -1\}\cup\{x\geq 1\}}|f_n(x)-f(x)|=\mbox{sup}_{x\in \{x\leq -1\}\cup\{x\geq 1\}}\left|\frac{1}{n^2x^2-1}\right|=\frac{1}{n^2-1}

e quindi

\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2-1}=0

e abbiamo convergenza uniforme a f(x)=0 sull'insieme \tilde{A}=(-\infty,-1]\cup[+1,+\infty).
Ringraziano: CarFaby
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