Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni fratte

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Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni fratte #91401

avt
judd79
Cerchio
Studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della seguente successione di funzioni

f_n(x) = (1)/(n^2x^2-1)_n n ≥ 0

Riferimento: tema d'esame 22/01/2016 esercizio numero 1.
 
 

Re: Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni fratte #91405

avt
Omega
Amministratore
Chiudiamo in bellezza la grande tranche di topic one-shot che hai ordinato con un esercizio semi-impegnativo sulle successioni di funzioni.

f_n(x)_n = (1)/(n^2x^2-1)_n n ≥ 0

La prima cosa da fare consiste nel determinare il dominio di ciascuna delle funzioni della successione, quindi consideriamo f_n(x) con n fissato

f_n(x) = (1)/(n^2x^2-1)

Il denominatore non può annullarsi

n^2x^2-1 ≠ 0 → x ≠±(1)/(n)

Quindi il dominio dell'n-esima funzione è dato da

(-∞,-(1)/(n)) U (-(1)/(n),(1)/(n)) U ((1)/(n),+∞)

ad eccezione di f_0(x), che è definita ovunque ed identicamente uguale a -1.

A questo punto dobbiamo chiederci: su quale insieme ha senso studiare la convergenza puntuale e la convergenza uniforme della successione di funzioni? Bé, al più sull'insieme su cui tutte le funzioni f_n(x) sono definite.

Poiché (1)/(n) → 0 ed è una successione decrescente, ci basta considerare

A = (-∞,-1) U (+1,+∞)

Ora studiamo la convergenza puntuale e vediamo se esiste un limite di convergenza puntuale. Considerando la x come un valore fissato, dobbiamo calcolare

f(x) = lim_(n → +∞)f_n(x)

Se fissiamo x∈ A non è difficile rendersi conto che

f(x) = lim_(n → +∞)(1)/(n^2x^2-1) = 0

infatti basta ragionare con le regole dell'algebra di infiniti e infinitesimi (costante fratto infinito).

Il limite di convergenza puntuale su A è f(x) = 0, alias la funzione identicamente nulla.

Studiamo la convergenza uniforme di f_n ad f. Affinché essa sussista, deve essere verificata la condizione

lim_(n → +∞)sup_(x∈ A)|f_n(x)-f(x)| = 0

Calcoliamo il sup considerando n fissato

sup_(x < -1 U x > 1)|f_n(x)-f(x)| = sup_(x∈ x < -1 U x > 1)|(1)/(n^2x^2-1)|

Per ricavare il sup conviene effettuare un velocissimo studio di funzione di y = (1)/(n^2x^2-1) sull'insieme A. Non mi dilungherò particolarmente sui calcoli. Con semplici conti ci si rende immediatamente conto che:

- è una funzione pari, dunque simmetrica rispetto all'asse x;

- è positiva su A;

- e che

lim_(x → +∞)f_n(x) = 0

- infine, attenzione attenzione

lim_(x → 1^+)f_n(x) = -1 se n = 0 ; lim_(x → 1^+)f_n(x) = +∞ se n = 1 ; lim_(x → 1^+)f_n(x) = (1)/(n^2-1) se n > 1

- Essa inoltre è una funzione decrescente per x > 1, ergo crescente per x < -1, se n > 0, mentre è una funzione costante se n = 0.

Morale della favola: poiché per n = 1 la funzione diverge positivamente nell'intorno destro di x = 1 e nell'intorno sinistro di x = -1, la quantità di cui vogliamo determinare il sup non è definita per ogni n > 0.

Possiamo però ovviare al problema considerando la successione di funzioni

f_n(x)_n = (1)/(n^2x^2-1)_n n > 1

Nel qual caso possiamo anche estendere l'insieme in esame includendo gli estremi

sup_(x ≤ -1 U x ≥ 1)|f_n(x)-f(x)| = sup_(x∈ x ≤ -1 U x ≥ 1)|(1)/(n^2x^2-1)| = (1)/(n^2-1)

e quindi

lim_(n → +∞)(1)/(n^2-1) = 0

e abbiamo convergenza uniforme a f(x) = 0 sull'insieme tildeA = (-∞,-1] U [+1,+∞).
Ringraziano: CarFaby
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