Convergenza uniforme di una serie di funzioni con e^(nx)

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Convergenza uniforme di una serie di funzioni con e^(nx) #91398

avt
judd79
Cerchio
Stabilire dove è uniformemente convergente la seguente serie di funzioni

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x+1}{x}e^{nx}

Riferimento: tema d'esame 12/03/2016 esercizio numero 4.
 
 

Re: Convergenza uniforme di una serie di funzioni con e^(nx) #91399

avt
Omega
Amministratore
Vogliamo studiare la convergenza uniforme della serie di funzioni

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x+1}{x}e^{nx}

Siamo pronti, siamo carichi e soprattutto disponiamo di tutta la teoria sulle serie di funzioni di cui abbiamo bisogno. Però, come sempre, dobbiamo ragionare prima di buttarci a capofitto nei calcoli e chiederci: è possibile risolvere l'esercizio in una maniera elegante e soprattutto poco dispendiosa?

Qui possiamo. In generale di fronte alle serie di funzioni è sempre cosa buona e giusta fare un controllino e stabilire se sia possibile effettuare un opportuno cambio di variabile, in modo da ricondurre la serie di funzioni ad una serie di potenze.

Se riscriviamo la serie sfruttando le proprietà delle potenze

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x+1}{x}\left(e^{x}\right)^n

e poniamo y=e^x, da cui x=\log(y), ricaviamo

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\log(y)+1}{\log(y)}y^n

Bellissimo! Abbiamo riscritto la serie di funzioni come serie di potenze

\sum_{n=1}^{+\infty}a_ny^n

in cui la successione dei coefficienti è addirittura costante

a_n=\frac{\log(y)+1}{\log(y)}\ \ \forall n

Notiamo che le uniche condizioni da imporre sono

\\ y>0\\ \\ \log(y)\neq 0\ \iff\ y\neq 1

che equivalgono a x\neq 0 sulla serie nella forma originaria. Infatti y=e^x e la funzione esponenziale è positiva per ogni valore reale.

Ora possiamo mettere in moto il metodo di studio delle serie di potenze e appoggiarci al criterio di d'Alembert (o criterio del rapporto)

\lim_{n\to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

Tale limite vale ovviamente \ell=1 proprio perché la successione è costante, dunque il raggio di convergenza è

R=\frac{1}{\ell}=1

Ne deduciamo che la serie di potenze converge puntualmente nell'intervallo 0<y<1 (occhio alle condizioni di esistenza), mentre agli estremi dell'intervallo non è nemmeno definita.

Torniamo alla variabile x:

0<y<1\ \to\ 0<e^x<1

Scriviamo la doppia disequazione come un sistema

\begin{cases}e^x>0\\ e^x<1\end{cases}\ \to\ \begin{cases}\forall x\\ x<0\end{cases}

In conclusione la serie di funzioni converge puntualmente sull'intervallo I=(-\infty,0) e, in accordo con la teoria sulle serie di potenze, converge uniformemente su qualsiasi intervallo chiuso e limitato contenuto in I.
Ringraziano: CarFaby
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Os