Edo del primo ordine lineare e omogenea con seno e coseno

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Edo del primo ordine lineare e omogenea con seno e coseno #91370

avt
judd79
Cerchio
Risolvere la seguente edo lineare omogenea del primo ordine in cui compaiono come coefficienti seno e coseno.

\sin(x)y'+\cos(x)y=0

Riferimento: tema d'esame 06/05/2016 esercizio numero 7.
 
 

Re: Edo del primo ordine lineare e omogenea con seno e coseno #91371

avt
Omega
Amministratore
Esattamente come per le altre equazioni differenziali lineari del primo ordine, anche in questo caso si tratterà semplicemente di applicare la relativa formula e di calcolare l'annesso integrale per determinare la famiglia di soluzioni.

Scriviamo la forma generale di un'edo lineare del primo ordine

y'(x)+a_0(x)y(x)=g(x)

Per ricavare la famiglia di soluzioni dobbiamo usare la formula

\\ y(x)= e^{-A(x)}\left[c_1+\int\left(g(x) e^{A(x)}\right)dx\right]\\ \\ \mbox{dove }\ A(x):=\int a_{0}(x)dx\\ \\ \mbox{e }c_1\mbox{ costante arbitraria}

che è naturalmente applicabile anche nel caso omogeneo, ossia quello per cui risulta g(x)=0.

Prima di iniziare serve un semplice passaggio algebrico per riscrivere l'edo proposta in forma canonica

\sin(x)y'+\cos(x)y=0

da cui

y'+\frac{\cos(x)}{\sin(x)}y=0

Poiché ci troviamo nel caso omogeneo, la formula si semplifica parecchio

y(x)=c_1e^{-A(x)}\ \ \ (\bullet)

Calcoliamo il termine A(x)

\\ A(x)=\int a_{0}(x)dx=\int \frac{\cos(x)}{\sin(x)}dx

Ora si tratta di calcolare l'integrale, e possiamo farlo agevolmente con il metodo di integrazione per sostituzione, calcolando direttamente il differenziale dal cambio di variabile

\\ z=\sin(x)\\ \\ dz=\cos(x)dx

L'integranda presenta già tutto quello che ci serve

\int \frac{\cos(x)}{\sin(x)}dx=\int\frac{dz}{z}=\log|z|+k

con k una costante additiva che individua la famiglia di primitive.

Abbiamo infine

A(x)=\log|\sin(x)|+k

Riprendiamo la formula (\bullet)

y(x)=c_1e^{-\log|\sin(x)|-k}

Le proprietà delle potenze ci permettono di isolare i termini costanti in un unico blocco

y(x)=c_1e^{-k}e^{-\log|\sin(x)|}

Non ci resta che chiamare il blocco costante come c

y(x)=ce^{-\log|\sin(x)|}

e applicare una ben nota proprietà dei logaritmi

\\ y(x)=ce^{\log(|\sin(x)|^{-1})}\\ \\ \\ =ce^{\log\left(\left|\frac{1}{\sin(x)}\right|\right)}

nonché la definizione di cosecante

y(x)=ce^{\log(|\csc(x)|}

e la definizione di logaritmo

y(x)=c|\csc(x)|

Fine!
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Os