Integrale improprio di seconda specie di una funzione razionale

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Integrale improprio di seconda specie di una funzione razionale #91362

avt
judd79
Cerchio
Studiare la convergenza del seguente integrale improprio di seconda specie con integranda data da una funzione razionale

\int_0^1\frac{x}{x^3-1}dx

Riferimento: tema d'esame 06/05/2016 esercizio numero 4.
 
 

Re: Integrale improprio di seconda specie di una funzione razionale #91366

avt
Omega
Amministratore
Ci troviamo di fronte ad un'integrale improprio di seconda specie, e come sempre abbiamo due possibili strade da seguire per lo studio della convergenza:

- procedere con la definizione;

- usare qualche criterio di convergenza per integrali impropri di seconda specie e ricondurci ad un integrale improprio più semplice, di cui studiare la convergenza con la definizione o disponendo della tabella degli integrali impropri notevoli.

Qui procedere con il primo metodo, in termini di calcoli, è un puro e semplice suicidio. Te ne puoi accorgere facilmente provando ad impostare l'integrale; in ogni caso il secondo metodo è quello che permette sempre di risparmiare calcoli e fatica, dunque nettamente preferibile.

\int_0^1\frac{x}{x^3-1}dx

Riscriviamo l'integrale scomponendo il denominatore, mediante la regola per la differenza di cubi

\int_0^1\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}dx

Ora cerchiamo di applicare il criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie, dunque studiamo il comportamento asintotico dell'integranda nell'intorno sinistro della singolarità x=1

\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}\sim_{x\to 1^-}\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}

Perfetto: lasciamo perdere il coefficiente, dacché non incide in alcun modo sulla convergenza dell'integrale, e studiamo

\int_0^1\frac{1}{x-1}dx

Qui andiamo a razzo con la definizione

\\ \int_0^1\frac{1}{x-1}dx=\\ \\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_0^{1-\varepsilon}\frac{1}{x-1}dx=

Abbiamo a che fare con un integrale fondamentale

=\lim_{\varepsilon\to 0^+}[\log|x-1|]_0^{1-\varepsilon}=

Valutazioni agli estremi

\\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}[\log|1-\varepsilon-1|-\log|-1|]=\\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}[\log|-\varepsilon|-\log(1)]=\\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\log(\varepsilon)=-\infty

dove il risultato viene dedotto dal comportamento della funzione logaritmica nell'intorno destro di zero. In definitiva l'integrale improprio diverge negativamente.
Ringraziano: CarFaby, Mark_Knopfler
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