Scrivere l'espressione diretta di una successione ricorsiva

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Scrivere l'espressione diretta di una successione ricorsiva #91358

avt
judd79
Cerchio
Scrivere in forma esplicita l'espressione della successione ricorsiva definita dalle condizioni

\begin{cases}a_n=2a_{n-1}-1\\ a_0=0\end{cases}\ \ \ \mbox{per }n\geq 1

Riferimento: tema d'esame 01/07/2016 esercizio numero 2.
 
 

Re: Scrivere l'espressione diretta di una successione ricorsiva #91359

avt
Omega
Amministratore
Come ho già avuto modo di suggerirti in questo esercizio sulle successioni definite per ricorrenza (Successione definita per ricorrenza mediante una equazione), a volte le pure e semplici valutazioni dei primi termini della successione non solo permettono di farsi un'idea sui termini della stessa, ma ci consentono addirittura di scrivere in un colpo solo l'espressione esplicita della successione ricorsiva.

E quando capita abbiamo un bel risparmio computazionale, perché possiamo evitare la trafila del metodo delle funzioni generatrici (esempio: equazione di ricorrenza con le funzioni generatrici).

Proviamo:

\begin{cases}a_n=2a_{n-1}-1\\ a_0=0\end{cases}\ \ \ \mbox{per }n\geq 1

Valutazioni dei primi 6 termini della successione

\\ a_0=0\\ \\ a_1=2a_0-1=-1\\ \\ a_2=2a_1-1=-2-1=-3\\ \\ a_3=2a_2-1=-6-1=-7\\ \\ a_4=2a_3-1=-14-1=-15\\ \\ a_5=2a_4-1=-30-1=-31

Non noti niente di strano? Dopo non più di 30 secondi di riflessione, dovrebbe essere chiaro che i termini della successione sono legati alle potenze di 2:

2^1=2,\ 2^2=4,\ 2^3=8,\ 2^4=16,\ 2^5=32

o meglio, ai loro opposti

-2^1=-2,\ -2^2=-4,\ -2^3=-8,\ -2^4=-16,\ -2^5=-32

Se sommiamo un 1 a ciascun elemento

\\ -2^1+1=-1,\ -2^2+1=-3,\ -2^3+1=-7,\\ \\ -2^4+1=-15,\ -2^5+1=-31

Ci siamo! emt

a_n=-2^n+1\ \ \ \mbox{per }n\geq 1
Ringraziano: CarFaby
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Os