Integrale ciclico per parti come un'equazione

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Integrale ciclico per parti come un'equazione #91351

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale definito con integranda data dal prodotto tra un termine esponenziale ed il seno:

\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-2x}\sin(x)dx

Riferimento: tema d'esame 01/07/2016 esercizio numero 5.
 
 

Integrale ciclico per parti come un'equazione #91353

avt
Omega
Amministratore
Quello che hai proposto è uno di quegli integrali che vanno risolti con la formula di integrazione per parti, impostando la risoluzione in modo da ottenere un'equazione in cui l'incognita è data proprio dall'integrale.

Tale approccio è tipico degli integrali in cui è dato il prodotto di funzioni con derivate cicliche, e ne parliamo nella lezione sugli integrali per parti.

\int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-2x}\sin(x)dx

Lavoriamo con l'integrale indefinito

\int e^{-2x}\sin(x)dx=

e applichiamo la formula di integrazione per parti considerando il termine esponenziale come derivata, la cui primitiva è data semplicemente da -\frac{1}{2}e^{-2x}

\\ =-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin(x)-\int \left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)\cos(x)dx=\\ \\ \\ =-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin(x)+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\cos(x)dx\ \ (\bullet)

A parte

\frac{1}{2}\int e^{-2x}\cos(x)dx=

Integriamo nuovamente per parti

\\ =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\cos(x)-\int\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)(-\sin(x))dx\right]=\\ \\ \\ =-\frac{1}{4}e^{-2x}\cos(x)-\frac{1}{4}\int e^{-2x}\sin(x)=

Chiamiamo I l'integrale e ricomponiamo (\bullet). Torna tutto, perché quello che abbiamo ottenuto è identico a quello di partenza:

I=-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin(x)-\frac{1}{4}e^{-2x}\cos(x)-\frac{1}{4}I

Trattando l'uguaglianza come un'equazione arriviamo a

I=-\frac{2}{5}e^{-2x}\sin(x)-\frac{1}{5}e^{-2x}\cos(x)+c

Ora possiamo pure occuparci dell'integrale definito

\\ \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{-2x}\sin(x)dx=\\ \\ \\ =\left[-\frac{2}{5}e^{-2x}\sin(x)-\frac{1}{5}e^{-2x}\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\\ \\ \\ -\frac{2}{5}e^{-\pi}+\frac{1}{5}

ed è tutto!
Ringraziano: CarFaby
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Os