Integrale ciclico per parti come un'equazione

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#91351
avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale definito con integranda data dal prodotto tra un termine esponenziale ed il seno:

∫_0^((π)/(2))e^(-2x)sin(x)dx

Riferimento: tema d'esame 01/07/2016 esercizio numero 5.
#91353
avt
Omega
Amministratore
Quello che hai proposto è uno di quegli integrali che vanno risolti con la formula di integrazione per parti, impostando la risoluzione in modo da ottenere un'equazione in cui l'incognita è data proprio dall'integrale.

Tale approccio è tipico degli integrali in cui è dato il prodotto di funzioni con derivate cicliche, e ne parliamo nella lezione sugli integrali per parti.

∫_0^((π)/(2))e^(-2x)sin(x)dx

Lavoriamo con l'integrale indefinito

∫ e^(-2x)sin(x)dx =

e applichiamo la formula di integrazione per parti considerando il termine esponenziale come derivata, la cui primitiva è data semplicemente da -(1)/(2)e^(-2x)

= -(1)/(2)e^(-2x)sin(x)-∫ (-(1)/(2)e^(-2x))cos(x)dx = -(1)/(2)e^(-2x)sin(x)+(1)/(2)∫ e^(-2x)cos(x)dx (•)

A parte

(1)/(2)∫ e^(-2x)cos(x)dx =

Integriamo nuovamente per parti

= (1)/(2)[-(1)/(2)e^(-2x)cos(x)-∫(-(1)/(2)e^(-2x))(-sin(x))dx] = -(1)/(4)e^(-2x)cos(x)-(1)/(4)∫ e^(-2x)sin(x) =

Chiamiamo I l'integrale e ricomponiamo (•). Torna tutto, perché quello che abbiamo ottenuto è identico a quello di partenza:

I = -(1)/(2)e^(-2x)sin(x)-(1)/(4)e^(-2x)cos(x)-(1)/(4)I

Trattando l'uguaglianza come un'equazione arriviamo a

I = -(2)/(5)e^(-2x)sin(x)-(1)/(5)e^(-2x)cos(x)+c

Ora possiamo pure occuparci dell'integrale definito

∫_0^((π)/(2))e^(-2x)sin(x)dx = [-(2)/(5)e^(-2x)sin(x)-(1)/(5)e^(-2x)cos(x)]_0^((π)/(2)) = ;-(2)/(5)e^(-π)+(1)/(5)

ed è tutto!
Ringraziano: CarFaby
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