Primi 4 termini dello sviluppo di McLaurin di una funzione

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Primi 4 termini dello sviluppo di McLaurin di una funzione #91348

avt
judd79
Cerchio
Calcolare i primi 4 termini dello sviluppo di McLaurin della funzione

y=\sin(e^{2x}-1)+\cos(3x)

Riferimento: tema d'esame 06/05/2016 esercizio numero 1.
 
 

Re: Primi 4 termini dello sviluppo di McLaurin di una funzione #91350

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di calcolare i primi 4 termini dello sviluppo di Taylor della funzione assegnata, con centro x_0=0:

y=\sin(e^{2x}-1)+\cos(3x)

Questa tipologia di esercizi è piuttosto standard e prevede di ragionare per composizione di funzioni, sfruttando gli sviluppi di Taylor-McLaurin notevoli che possono essere dati per noti.

Ci sono solamente 3 insidie che avrò cura di evidenziare nel corso della spiegazione.

Prima insidia

Attenzione ai centri di sviluppo delle funzioni in ordine di composizione! Sappiamo che in una composizione di funzioni

f=h(g(x))

l'ordine di applicazione è il seguente

x\ \to\ g(x)\ \to\ h(g(x))

Se noi vogliamo calcolare lo sviluppo di McLaurin di f(x), dunque Taylor con centro x_0=0, dobbiamo scrivere gli sviluppi delle funzioni che compaiono nella composizione e successivamente comporli.

La seconda funzione in ordine di composizione andrà sviluppata nell'immagine del centro mediante la prima funzione in ordine di composizione!

x_0\ \to\ g(x_0)\ \to\ h(g(x_0))

Dunque per h dovremo scrivere lo sviluppo con centro in g(x_0).

Questo è un aspetto che viene sottovalutato spessissimo nella risoluzione degli esercizi, e che induce spesso e volentieri in errore.

Nel nostro caso fila tutto liscio, perché abbiamo le seguenti composizioni

\\ x\to e^{2x}-1\ \to\ \sin(e^{2x}-1)\\ \\ x\ \to\ 3x\ \to\ \cos(3x)

Quindi tutte le funzioni andranno sviluppate in zero e potremo bellamente riciclare gli sviluppi notevoli.

Seconda insidia

Ci servono i primi 4 termini dello sviluppo. Non sapendo a priori quali eventuali cancellazioni ci saranno, partiamo da uno sviluppo al quarto ordine e incrociamo le dita. Nel caso alla fine non avessimo termini sufficienti dovremo ripetere la procedura aumentando di un grado gli sviluppi iniziali.

Procediamo:

e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)

Per composizione

e^{2x}-1=2x+\frac{4x^2}{2}+\frac{8x^3}{6}+\frac{16x^4}{24}+o(16x^4)

Semplificando e ricordando la regola dell'algebra degli o-piccolo per cui o(cx^n)=o(x^n)

e^{2x}-1=2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)

Consideriamo lo sviluppo del seno

\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^4)

Nota che ho scritto o(x^4) e non o(x^3) perché il termine di grado 4 è nullo e a noi serve uno sviluppo al quarto ordine.

Composizione:

\\ \sin(e^{2x}-1)=\\ \\ =\left[2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)\right]-\frac{\left[2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)\right]^3}{6}+\\ \\ \\ +o\left(\left[2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)\right]^4\right)

Terza insidia

Non dobbiamo sviluppare tutti i calcoli, ovviamente. Tenendo presente che vogliamo arrestarci al quarto ordine, quindi chiudere lo sviluppo con un o(x^4), scriveremo esplicitamente solo i termini di grado non superiore a 4 e tralasceremo i termini di grado superiore a 4, inglobandoli direttamente nell'o(x^4).

Qui ci serve un po' di occhio perché non servirà scrivere tutti i termini: basterà immaginarne il grado nei calcoli e stabilire se ometterli o no.

\\ \sin(e^{2x}-1)=\\ \\ \left[2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)\right]-\frac{\left[2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)\right]^3}{6}+\\ \\ \\ +o\left(\left[2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)\right]^4\right)=\\ \\ \\ =2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}+\frac{2x^4}{3}+o(x^4)-\frac{8x^3+3\cdot 4x^2\cdot 2x^2+o(x^4)}{6}+o(x^4)=

Semplifichiamo e usiamo la regola dell'algebra degli o-piccolo relativa a somme e differenze: o(x^m)+o(x^n)=o(x^m)\mbox{ se }m\leq n

\\ =2x+2x^2-\frac{10}{3}x^4+o(x^4)=


Ora passiamo allo sviluppo del coseno

\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)

per cui

\cos(3x)=1-\frac{9x^2}{2}+\frac{81x^4}{24}+o(81x^4)

ossia

\cos(3x)=1-\frac{9x^2}{2}+\frac{81x^4}{24}+o(x^4)


È il momento di mettere tutto assieme

\\ \sin(e^{2x}-1)+\cos(3x)=\\ \\ =2x+2x^2-\frac{10}{3}x^4+o(x^4)+1-\frac{9x^2}{2}+\frac{81x^4}{24}+o(x^4)=\\ \\ =1+2x-\frac{5}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4+o(x^4)
Ringraziano: CarFaby
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