Integrale con prodotto tra esponenziale e logaritmo

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Integrale con prodotto tra esponenziale e logaritmo #91339

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale di una funzione prodotto con un termine esponenziale ed uno logaritmico

\int e^x\log(1-e^{-x})dx

Riferimento: tema d'esame 06/05/2016 esercizio numero 5.
 
 

Re: Integrale con prodotto tra esponenziale e logaritmo #91340

avt
Omega
Amministratore
Il calcolo dell'integrale proposto richiederà l'utilizzo congiunto di due tecniche di integrazione. Ma andiamo con ordine...

\int e^x\log(1-e^{-x})dx=

La ripetizione del termine esponenziale dovrebbe far illuminare una lampadina: converrà forse calcolare l'integrale per sostituzione?

Forse, ma prima vediamo di esprimerlo in una forma più gestibile:

=\int e^x\log\left(1-\frac{1}{e^x}\right)dx=

da cui

=\int e^x\log\left(\frac{e^x-1}{e^x}\right)dx=(\bullet)

Ok, ora sostituiamo y=e^x e differenziamo tale relazione per direttissima (senza doverci ricavare la relazione inversa)

dy=e^xdx

È tutto molto comodo perché l'integranda contiene già i termini che ci permettono di far comparire il differenziale dy

(\bullet)=\int \log\left(\frac{y-1}{y}\right)dy=

È giunta l'ora di applicare la seconda tecnica: quando c'è un logaritmo solo soletto nell'integranda vale la pena di applicare il metodo di integrazione per parti, considerando come derivata il fattore 1

=y\log\left(\frac{y-1}{y}\right)-\int ...\ dy\ \ \ (\bullet \bullet)

Come integranda del nuovo integrale avremo il prodotto tra il termine y e la derivata del termine logaritmico. Calcoliamola a parte usando il teorema di derivazione della funzione composta e la regola di derivazione del rapporto

\\ \frac{d}{dy}\left[\log\left(\frac{y-1}{y}\right)\right]=\frac{1}{\frac{y-1}{y}}\cdot \frac{y-(y-1)}{y^2}=\\ \\ \\ =\frac{1}{y-1}\cdot \frac{1}{y}=\\ \\ \\ =\frac{1}{(y-1)y}

Torniamo a (\bullet \bullet)

(\bullet \bullet)=y\log\left(\frac{y-1}{y}\right)-\int y\cdot \frac{1}{(y-1)y}dy=

Ergo

=y\log\left(\frac{y-1}{y}\right)-\int\frac{1}{y-1}dy=

e dunque

=y\log\left(\frac{y-1}{y}\right)-\log|y-1|+c=

dove c è una costante additiva che individua tutte le funzioni della famiglia di primitive. Ricordiamoci della sostituzione effettuata inizialmente

=e^x\log\left(\frac{e^x-1}{e^x}\right)-\log|e^x-1|+c=

Volendo esprimere il risultato in una forma più elegante

=e^x\log(1-e^{-x})-\log|e^x-1|+c

Abbiamo concluso!
Ringraziano: CarFaby
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Os