Equazione differenziale del primo ordine omogenea e trigonometrica

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Equazione differenziale del primo ordine omogenea e trigonometrica #91335

avt
judd79
Cerchio
Determinare la famiglia di soluzioni della seguente equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine con termini trigonometrici:

\cos(x)y'=\sin(x)y

Riferimento: tema d'esame 08/01/2016 esercizio numero 6.
 
 

Re: Equazione differenziale del primo ordine omogenea e trigonometrica #91336

avt
Omega
Amministratore
Per determinare la famiglia di soluzioni dell'equazione differenziale proposta useremo - non a caso - la formula per le soluzioni delle equazioni differenziali lineari del primo ordine.

\\ y'(x)+a_0(x)y(x)=g(x)\\ \\ \\ y(x)= e^{-A(x)}\left[c_1+\int\left(g(x) e^{A(x)}\right)dx\right]\\ \\ \\ \mbox{dove }A(x):=\int a_{0}(x)dx\mbox{ e }c_1\mbox{ costante arbitraria}

La prima cosa da fare consiste nel riscrivere l'equazione differenziale

\cos(x)y'=\sin(x)y

nella forma

y'-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}y=0

Noi ci troviamo nel caso omogeneo g(x)=0, per cui la precedente formula si traduce in

y(x)=c_1e^{-A(x)}

Calcoliamo quindi il termine A(x)

A(x):=\int \frac{-\sin(x)}{\cos(x)}dx

Per calcolare questo integrale procediamo con il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo

z=\cos(x)

da cui, calcolando il differenziale direttamente

dz=-\sin(x)dx

Bene, nell'integranda c'è già tutto quello che ci serve. Procediamo

\int \frac{dz}{z}=\log|z|+k

dove k è una costante arbitraria che individua tutte le possibili primitive dell'integranda.

Ricordandoci della sostituzione effettuata

A(x)=\log|\cos(x)|+k

Ora possiamo individuare la famiglia di soluzioni

y(x)=c_1e^{-\log|\cos(x)|-k}

Grazie alle proprietà delle potenze possiamo scrivere

y(x)=c_1e^{-k}e^{-\log|\cos(x)|}

ed esprimere il blocco costante sotto forma di un'unica costante

y(x)=Ce^{-\log|\cos(x)|}

Fatto ciò non rimane che riscrivere la famiglia di soluzioni sfruttando la definizione di logaritmo. Prima però usiamo le proprietà dei logaritmi per sbarazzarci del segno meno all'esponente

y(x)=Ce^{\log\left(\left|\frac{1}{\cos(x)}\right|\right)}

Per definizione di secante

y(x)=Ce^{\log|\sec(x)|}

ed infine

y(x)=C|\sec(x)|
Ringraziano: CarFaby
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Os