Integrale improprio fratto con logaritmo

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Integrale improprio fratto con logaritmo #91332

avt
judd79
Cerchio
Studiare ed eventualmente calcolare il seguente integrale improprio di seconda specie sull'intervallo di integrazione:

\int_1^e\frac{dx}{x\log(x)}

Riferimento: tema d'esame 08/01/2016 esercizio numero 5.
 
 

Re: Integrale improprio fratto con logaritmo #91334

avt
Omega
Amministratore
Che l'integrale proposto sia un integrale improprio di seconda specie lo si desume facilmente tentando di valutare l'integranda in corrispondenza dell'estremo inferiore di integrazione.

\int_1^e\frac{dx}{x\log(x)}

Come sempre di fronte agli integrali impropri abbiamo due possibili strade:

1) usare la definizione, a patto che l'integrale non sia troppo complicato e l'integranda ammetta una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari;

2) applicare qualche criterio di convergenza per integrali impropri di seconda specie e ricondursi agli integrali impropri notevoli.

Dato che l'integrale è piuttosto easy procederemo applicando la definizione. Prima però diamo una rapida occhiata all'integranda e notiamo che il rapporto è esprimibile nella forma

\frac{1}{x\log(x)}=\frac{1}{\log(x)}\cdot \frac{1}{x}=\log^{-1}(x)\cdot \frac{1}{x}

dove il secondo fattore è proprio la derivata della base della potenza. Per non sbagliare calcoliamo l'integrale per sostituzione, ponendo

z=\log(x)

per cui tramite differenziazione diretta

dz=\frac{1}{x}dx

e gli estremi diventano

\\ x=1\ \to\ z=0\\ \\ x=e\ \to\ z=1

L'integrale improprio si riscrive quindi nella forma

\int_0^1\frac{dy}{y}=

Via con la definizione:

\\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^1\frac{dy}{y}=\\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[\log|y|\right]_\varepsilon^1=\\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}[0-\log|\varepsilon|]=

Poiché \varepsilon\to 0^+ il valore assoluto è superfluo

\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[-\log(\varepsilon)\right]=+\infty

Attenzione come al solito al comportamento della funzione logaritmica nell'intorno destro di zero.
Ringraziano: CarFaby
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Os