Integrale improprio fratto con logaritmo

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#91332
avt
judd79
Cerchio

Studiare ed eventualmente calcolare il seguente integrale improprio di seconda specie sull'intervallo di integrazione:

∫_1^e(dx)/(xlog(x))

Riferimento: tema d'esame 08/01/2016 esercizio numero 5.

#91334
avt
Omega
Amministratore

Che l'integrale proposto sia un integrale improprio di seconda specie lo si desume facilmente tentando di valutare l'integranda in corrispondenza dell'estremo inferiore di integrazione.

∫_1^e(dx)/(xlog(x))

Come sempre di fronte agli integrali impropri abbiamo due possibili strade:

1) usare la definizione, a patto che l'integrale non sia troppo complicato e l'integranda ammetta una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari;

2) applicare qualche criterio di convergenza per integrali impropri di seconda specie e ricondursi agli integrali impropri notevoli.

Dato che l'integrale è piuttosto easy procederemo applicando la definizione. Prima però diamo una rapida occhiata all'integranda e notiamo che il rapporto è esprimibile nella forma

(1)/(xlog(x)) = (1)/(log(x))·(1)/(x) = log^(−1)(x)·(1)/(x)

dove il secondo fattore è proprio la derivata della base della potenza. Per non sbagliare calcoliamo l'integrale per sostituzione, ponendo

z = log(x)

per cui tramite differenziazione diretta

dz = (1)/(x)dx

e gli estremi diventano

x = 1 → z = 0 ; x = e → z = 1

L'integrale improprio si riscrive quindi nella forma

∫_0^1(dy)/(y) =

Via con la definizione:

= lim_(ε → 0^+)∫_ε^1(dy)/(y) = lim_(ε → 0^+)[log|y|]_ε^1 = lim_(ε → 0^+)[0−log|ε|] =

Poiché ε → 0^+ il valore assoluto è superfluo

lim_(ε → 0^+)[−log(ε)] = +∞

Attenzione come al solito al comportamento della funzione logaritmica nell'intorno destro di zero.

Ringraziano: CarFaby
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