Integrale fratto con esponenziali

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Integrale fratto con esponenziali #91330

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale fratto in cui compaiono dei termini esponenziali:

\int\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx

Riferimento: tema d'esame 08/01/2016 esercizio numero 4.
 
 

Re: Integrale fratto con esponenziali #91331

avt
Omega
Amministratore
Come spesso e volentieri capita nel calcolo degli integrali, la ripetizione di un medesimo termine nella funzione integranda consiste in un suggerimento implicito: usare il metodo di integrazione per sostituzione.

\int\frac{e^x}{e^{2x}-1}dx

Qui la sostituzione è telecomandata: ah, ovviamente in forza delle proprietà delle potenze

e^{2x}=e^x\cdot e^x

Di conseguenza sostituiamo

y=e^x

da cui, per differenziazione diretta

dy=e^xdx

cosicché passiamo all'integrale

\int\frac{1}{y^2-1}dy

Poiché ci siamo ricondotti all'integrale di una funzione razionale con numeratore di grado inferiore a quello del denominatore, vale la pena di fare un giro di giostra con i fratti semplici.

Innanzitutto scomponiamo il denominatore con la regola della differenza di quadrati

\frac{1}{y^2-1}=\frac{1}{(y-1)(y+1)}

Apriamo le danze

\\ \frac{1}{(y-1)(y+1)}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+1}=\\ \\ \\ =\frac{Ay+A+By-B}{(y-1)(y+1)}=\\ \\ \\ =\frac{(A+B)y+(A-B)}{(y-1)(y+1)}

e dunque applichiamo il principio di identità dei polinomi confrontando i numeratori degli estremi della catena di uguaglianze

\begin{cases}A+B=0\\ A-B=1\end{cases}

Un banale sistema lineare che possiamo risolvere per sostituzione

\begin{cases}A=-B\\ -2B=1\end{cases}\ \to\ \begin{cases}A=+\frac{1}{2}\\ =-\frac{1}{2}\end{cases}

A questo punto possiamo riscrivere l'integrale nella forma

\int\frac{1}{y^2-1}dy=\int\left[\frac{\frac{1}{2}}{y-1}+\frac{-\frac{1}{2}}{y+1}\right]dy=

e ancora, grazie alle proprietà degli integrali

=\frac{1}{2}\int\frac{1}{y-1}dy-\frac{1}{2}\int\frac{1}{y+1}dy=

Se abbiamo memoria degli integrali fondamentali allora ricavare le primitive è una sciocchezza

=\frac{1}{2}\log|y-1|-\frac{1}{2}\log|y+1|+c=

Ricordiamoci della sostituzione iniziale, dacché a noi serve la famiglia di primitive in x

=\frac{1}{2}\log|e^x-1|-\frac{1}{2}\log|e^x+1|+c=

Ora la combo proprietà dei logaritmi + proprietà del valore assoluto

\\ =\frac{1}{2}\left(\log|e^x-1|-\log|e^x+1|\right)+c=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\log\left|\frac{e^x-1}{e^x+1}\right|+c

e abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby
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Os