Integrale fratto con esponenziali

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Integrale fratto con esponenziali #91330

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale fratto in cui compaiono dei termini esponenziali:

∫(e^x)/(e^(2x)-1)dx

Riferimento: tema d'esame 08/01/2016 esercizio numero 4.
 
 

Re: Integrale fratto con esponenziali #91331

avt
Omega
Amministratore
Come spesso e volentieri capita nel calcolo degli integrali, la ripetizione di un medesimo termine nella funzione integranda consiste in un suggerimento implicito: usare il metodo di integrazione per sostituzione.

∫(e^x)/(e^(2x)-1)dx

Qui la sostituzione è telecomandata: ah, ovviamente in forza delle proprietà delle potenze

e^(2x) = e^x·e^x

Di conseguenza sostituiamo

y = e^x

da cui, per differenziazione diretta

dy = e^xdx

cosicché passiamo all'integrale

∫(1)/(y^2-1)dy

Poiché ci siamo ricondotti all'integrale di una funzione razionale con numeratore di grado inferiore a quello del denominatore, vale la pena di fare un giro di giostra con i fratti semplici.

Innanzitutto scomponiamo il denominatore con la regola della differenza di quadrati

(1)/(y^2-1) = (1)/((y-1)(y+1))

Apriamo le danze

(1)/((y-1)(y+1)) = (A)/(y-1)+(B)/(y+1) = (Ay+A+By-B)/((y-1)(y+1)) = ((A+B)y+(A-B))/((y-1)(y+1))

e dunque applichiamo il principio di identità dei polinomi confrontando i numeratori degli estremi della catena di uguaglianze

A+B = 0 ; A-B = 1

Un banale sistema lineare che possiamo risolvere per sostituzione

A = -B ;-2B = 1 → A = +(1)/(2) ; = -(1)/(2)

A questo punto possiamo riscrivere l'integrale nella forma

∫(1)/(y^2-1)dy = ∫[((1)/(2))/(y-1)+(-(1)/(2))/(y+1)]dy =

e ancora, grazie alle proprietà degli integrali

= (1)/(2)∫(1)/(y-1)dy-(1)/(2)∫(1)/(y+1)dy =

Se abbiamo memoria degli integrali fondamentali allora ricavare le primitive è una sciocchezza

= (1)/(2)log|y-1|-(1)/(2)log|y+1|+c =

Ricordiamoci della sostituzione iniziale, dacché a noi serve la famiglia di primitive in x

= (1)/(2)log|e^x-1|-(1)/(2)log|e^x+1|+c =

Ora la combo proprietà dei logaritmi + proprietà del valore assoluto

= (1)/(2)(log|e^x-1|-log|e^x+1|)+c = (1)/(2)log|(e^x-1)/(e^x+1)|+c

e abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby
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Os