Sviluppo in serie di Taylor di una funzione razionale

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Sviluppo in serie di Taylor di una funzione razionale #91328

avt
judd79
Cerchio
Scrivere i primi tre termini dello sviluppo della seguente funzione razionale in x_0 = 0

f(x) = (1)/(1-2x)

Riferimento: tema d'esame 08/01/2016 esercizio numero 2.
 
 

Re: Sviluppo in serie di Taylor di una funzione razionale #91329

avt
Omega
Amministratore
Per esaudire la richiesta dell'esercizio possiamo procedere in due modi:

1) il primo metodo, piuttosto meccanico e piuttosto esornativo, prevede di ricorrere alla classica formula fornita dal teorema dello sviluppi di Taylor (come ad esempio abbiamo fatto qui: sviluppo di Taylor di un polinomio).

Si tratta quindi di mettersi di buona lena e calcolare i primi tre termini dello sviluppo, con le derivate fino al secondo ordine e le valutazioni annesse e connesse.

2) Il secondo metodo consiste nel ricordare e riciclare lo sviluppo notevole della funzione

g(x) = (1)/(1-x) = Σ_(n = 0)^(+∞)x^n

Probabilmente starai pensando: "Che c'è di interessante nel ricordare una formula a memoria?!". Giusta obiezione, ma l'aspetto interessante riguarda l'intuizione: il precedente sviluppo consiste infatti in una formula ben nota, quella per la somma di una serie geometrica

Σ_(n = 0)^(+∞)x^n = (1)/(1-x)

dove leggiamo l'uguaglianza al contrario

(1)/(1-x) = 1+x+x^2+x^3+...

Volendo ricorrere alla formula di Taylor con resto di Peano

(1)/(1-x) = 1+x+x^2+x^3+o(x^3)

A noi interessano i primi tre termini dello sviluppo

(1)/(1-x) = 1+x+x^2+o(x^2)

Sicché, ragionando per composizione

(1)/(1-2x) = 1+2x+4x^2+o(4x^2)

e per una ben nota regola dell'algebra degli o-piccolo: o(cx^n) = o(x^n)

(1)/(1-2x) = 1+2x+4x^2+o(x^2)

Un discreto risparmio di calcoli e tempo...
Ringraziano: CarFaby, GEXS
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Os