Forma canonica di Jordan, esercizio teorico

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Forma canonica di Jordan, esercizio teorico #91325

avt
Kronoa
Cerchio
Vi propongo un esercizio teorico sulla forma canonica di Jordan di una matrice di cui sono date alcune condizioni.

Una data matrice quadrata A di ordine 15 ha un unico autovalore \lambda. Sapendo che:

\\ \mbox{Rank}(A-\lambda I)=8 \\ \\ \mbox{Rank}(A-\lambda I)^2=3 \\ \\ \mbox{Rank}(A-\lambda I)^3=2

determinare la forma canonica di Jordan  J_{A} di A.
 
 

Forma canonica di Jordan, esercizio teorico #91344

avt
Galois
Coamministratore
L'esercizio proposto è il classico esercizio che si risolve abbastanza agevolmente se si hanno le giuste conoscenze teoriche che ora richiamerò brevemente.

Innanzitutto ricordiamo che il numero totale di blocchi di Jordan relativi ad un autovalore \lambda è pari alla molteplicità geometrica dell'autovalore.

Noi sappiamo che la matrice A ha ordine n=15 ed ha un solo autovalore. Inoltre sapendo che

\mbox{rank}[A-\lambda I] = 8

possiamo trovare immediatamente la molteplicità geometrica dell'autovalore \lambda che è data da

m_g(\lambda)=n-\mbox{rank}[A-\lambda I]=15-8=7

Quindi è 7 il numero totale di blocchi relativi all'autovalore \lambda.

Ora, servendoci degli altri dati forniti dal testo capiamo come sono fatti tali blocchi, ossia qual è il loro ordine.

A tal proposito ricordiamo quanto segue.

Sia \lambda un autovalore di A e poniamo

r_i:=\mbox{rank}[A-\lambda I]^i

Allora, il numero di blocchi di ordine 1 relativi all'autovalore \lambda si ottiene dalla formula

n-2r_1+r_2

dove n è l'ordine della matrice.

In generale, per k\ge 2, il numero di blocchi di ordine k relativi all'autovalore \lambda sono:

r_{k-1}-2r_k+r_{k+1}

------------

Applichiamo quanto detto poc'anzi al nostro esercizio. Per ipotesi sappiamo che

\\ r_1:=\mbox{Rank}(A-\lambda I)=8 \\ \\ r_2:=\mbox{Rank}(A-\lambda I)^2=3 \\ \\ r_3:=\mbox{Rank}(A-\lambda I)^3=2

Quindi, applicando la formula

n-2r_1+r_2

troviamo il numero di blocchi di ordine 1 relativi all'autovalore \lambda che sono

n-2r_1+r_2=15-2\cdot 8 + 3 = 15-16+3 = 2


Allo stesso modo il numero di blocchi di ordine 2 si ottengono sostituendo k=2 nella formula generale

r_{k-1}-2r_k+r_{k+1}

ossia

r_{1}-2r_2+r_{3}=8-2\cdot 3 + 2 = 4


Il numero di blocchi di ordine 3 è poi dato da

r_{k-1}-2r_k+r_{k+1} \mbox{ con } k=3

ossia

r_{2}-2r_3+r_{4}=3-2 \cdot 2 + r_4 = -1+r_4

Attenzione ora perché non conosciamo il valore di

r_4:=\mbox{rank}[A-\lambda I]^4.

Sappiamo però che, necessariamente, dovrà essere:

r_4 < r_3 = 2

pertanto abbiamo solo due eventualità:

r_4=0 \mbox{ oppure } r_4=1

Se fosse r_4=0 allora il numero di blocchi di ordine 3 (dato da -1+r_4) sarebbe negativo, il che non è possibile.

Pertanto, necessariamente

r_4:=\mbox{rank}[A-\lambda I] = 1

Da cui, essendo in generale r_j < r_{j-1}, deduciamo che

r_5=r_6=....=r_{j\ge 5}=0

Possiamo così continuare a stabilire il numero di blocchi di qualsiasi ordine.

Il numero di blocchi di ordine 4 è

r_{k-1}-2r_k+r_{k+1} \mbox{ con } k=4

ossia

r_{3}-2r_4+r_{5}=2-2 \cdot 1 + 0 = 0

Mentre il numero di blocchi di ordine 5 è

r_{k-1}-2r_k+r_{k+1} \mbox{ con } k=5

ossia

r_{4}-2r_5+r_{6}=1-2 \cdot 0 + 0 = 1

Abbiamo cioè un blocco di ordine 5 e possiamo concludere qui!

Ricordiamo infatti che inizialmente abbiamo stabilito che il numero totale dei blocchi dev'essere 7 e fin qui ne abbiamo trovati:

2 di ordine uno, 4 di ordine due ed 1 di ordine cinque, per un totale di 7.

Possiamo così concludere che la forma canonica di A consiste di un blocco di ordine 5 del tipo, di quattro blocchi di ordine 2 e di due blocchi di ordine 1.

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby, Kronoa, Tommy Galois
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Os