Forma canonica di Jordan, esercizio teorico

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Forma canonica di Jordan, esercizio teorico #91325

avt
Kronoa
Cerchio
Vi propongo un esercizio teorico sulla forma canonica di Jordan di una matrice quadrata di ordine 15 di cui sono date alcune condizioni sui ranghi.

Una matrice A di ordine n=15 ha un unico autovalore \lambda_0. Determinare la forma canonica di Jordan di A sapendo che:

\\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})=8 \\ \\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})^2=3 \\ \\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})^3=2

dove \mbox{Id}_{15} è la matrice identità di ordine 15.
 
 

Forma canonica di Jordan, esercizio teorico #91344

avt
Galois
Amministratore
Sappiamo che A è una matrice quadrata di ordine n=15 che ha come unico autovalore \lambda_0 ed è noto che:

\\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})=8 \\ \\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})^2=3 \\ \\ \mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})^3=2

Con queste informazioni dobbiamo determinare la forma canonica di Jordan J_A di A. Procediamo!

J_A è una matrice a blocchi, ed essendo \lambda_0 l'unico autovalore di A, ciascun blocco di J_A è un blocco di Jordan relativo all'autovalore \lambda_0.

Dobbiamo allora stabilire quanti sono tali blocchi e qual è l'ordine di ciascuno di essi.

Il numero dei blocchi di Jordan relativi a \lambda_0 è pari alla molteplicità geometrica di \lambda_0, la quale si calcola come differenza tra l'ordine di A, che è 15, e il rango della matrice (A-\lambda_0 \mbox{Id}_5), che sappiamo essere uguale a 8.

Da ciò segue che il numero di blocchi di Jordan associati a \lambda_0 è

n-\mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15}) = 15-8=7.

Per calcolare l'ordine di ciascuno di essi ricordiamo quanto segue. Sia

r_k=\mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_{15})^k

Allora:

- il numero di blocchi di ordine 1 relativi a \lambda_0 è

n-2r_1+r_2

- il numero di blocchi di ordine 2 è

r_1-2r_2+r_3

- il numero di blocchi di ordine 3 è pari a

r_2-2r_3+r_4

... e così via.

Dai dati forniti dalla traccia sappiamo che

\\ r_1=\mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_15) = 8 \\ \\ r_2=\mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_15)^2 = 3 \\ \\ r_3=\mbox{rk}(A-\lambda_0 \mbox{Id}_15)^3 = 2

dunque, essendo n=15:

- il numero di blocchi di ordine 1 è

n-2r_1+r_2 = 15 - (2 \cdot 8) + 3 = 15-16+3=2

- il numero di blocchi di ordine 2 è

r_1-2r_2+r_3 = 8 - 2 \cdot 3 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4

- il numeri di blocchi di ordine 3 è

r_2-2r_3+r_4

ma non conosciamo r_4. Tuttavia, per come sono definiti, r_4 è certamente minore di r_3, dunque si presentano due possibilità:

r_4=0 oppure r_4=1.

Se fosse r_4=0, allora il numero di blocchi di ordine 3 sarebbe

r_2-2r_3+r_4 = 3- 2 \cdot 2 + 0 = -1

ma ciò è impossibile pertanto, per forza di cose, r_4=1 e il numero di blocchi di ordine 3 è

r_2-2r_3+r_4 = 3- 2 \cdot 2 + 1 = 0

Poiché, in generale, r_j < r_{j-1}, essendo r_4=0 possiamo asserire che r_j = 0 per ogni j \ge 5.

Facciamo un piccolo riepilogo. Finora abbiamo detto che J_A ha sette blocchi di Jordan relativi a \lambda_0 di cui due di ordine 1, quattro di ordine 2 e zero di ordine 3. Resta, allora, da calcolare l'ordine di un ultimo blocco.

- il numero di blocchi di ordine 4 è:

r_3-2r_4+r_5 = 2 - 2 \cdot 1 + 0 = 0

- il numero di blocchi di ordine 5 è:

r_4-2r_5+r_6 = 1 - 2 \cdot 0 + 0 = 1

Ci siamo! J_A 7 blocchi di Jordan associati a \lambda_0 di cui 2 di ordine uno, 4 di ordine due e 1 di ordine cinque, ossia:

J_A=\left(\begin{array}{ccccccccccccccc}\lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_0\end{array}\right)

È fatta!
Ringraziano: CarFaby, Kronoa, Tommy Galois
  • Pagina:
  • 1
Os