Matrice associata ad un'applicazione lineare dall'equazione del nucleo

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Matrice associata ad un'applicazione lineare dall'equazione del nucleo #91324

avt
Kronoa
Cerchio
Mi rivolgo a voi perché sono in difficoltà con un esercizio che chiede di calcolare la matrice associata a un'applicazione lineare di cui è nota l'equazione del nucleo e un'altra condizione. È una tipologia di esercizi che non ho mai incontrato, quindi non so come muovermi.

La trasformazione lineare f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 ha il nucleo rappresentato dall'equazione

x-y+4z=0

e soddisfa la condizione

f(-4,-1,1)=(12,3,-3)

Calcolare la matrice associata a f rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3.
 
 

Matrice associata ad un'applicazione lineare dall'equazione del nucleo #91342

avt
Galois
Amministratore
Ci viene chiesto di calcolare la matrice canonicamente associata all'applicazione lineare f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 di cui è noto che:

- il nucleo di f è rappresentato dall'equazione

x-y+4z=0

- f soddisfa la condizione

f(-4,-1,1)=(12,3,-3)

Indichiamo con \mbox{Ker}(f) il nucleo di f, che sappiamo essere il sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^3 così definito:

\mbox{Ker}(f)=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \ | \ x-y+4z=0\}

Calcoliamo una base di questo sottospazio definito da una sola equazione cartesiana.

Assegniamo a due incognite il ruolo di parametro libero

y=a \ \ ; \ \ z=b \ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

e ricaviamo x dall'equazione che definisce \mbox{Ker}(f)

x-y+4z=0 \ \ \to \ \ x=y-4z=a-4b

La forma vettoriale di un generico vettore di \mbox{Ker}(f) è

\\ (x,y,z)=(a-4b, \ a, \ b) = \\ \\ = a(1,1,0)+b(-4,0,1)

dunque una base di \mbox{Ker}(f) è formata dai vettori

(1,1,0) \ \ ; \ \ (-4,0,1)

Per definizione di nucleo, gli elementi di \mbox{Ker}(f) hanno come immagine mediante la f lo zero del codominio, che in questo caso è il vettore nullo di \mathbb{R}^3, pertanto valgono le seguenti condizioni:

\\ f(1,1,0)=(0,0,0) \\ \\ f(-4,0,1)=(0,0,0)

L'altro dato fornito dalla traccia ci dice che

f(-4,-1,1)=(12,3,-3)

cosicché non dobbiamo fare altro che calcolare la matrice associata a f rispetto alla base canonica di \mathbb{R}^3 sapendo che:

\\ f(1,1,0)=(0,0,0) \\ \\ f(-4,0,1)=(0,0,0) \\ \\ f(-4,-1,1)=(12,3,-3)

Prima di procedere è bene verificare che f esiste.

I vettori preimmagine:

\mathbf{v}_1=(1,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(-4,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(-4,-1,1)

sono linearmente indipendenti, per cui formano una base di \mathbb{R}^3. Il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare ci assicura che f esiste ed è unica.

La base canonica di \mathbb{R}^3 è

\\ \mathcal{C}=\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}= \\ \\ = \{(1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1)\}

e la matrice A_f^{\mathcal{C}} che rappresenta f rispetto a questa base ha come colonne le immagini dei vettori di \mathcal{C} tramite f.

Calcoliamole, partendo da f(\mathbf{e}_1).

Esprimiamo \mathbf{e}_1 come combinazione lineare dei vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3. Imponiamo che sia

\mathbf{e}_1=a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3

e calcoliamo i coefficienti a,b,c che esistono e sono unici in quanto \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} è una base di \mathbb{R}^3.

Sostituiamo ogni vettore con le proprie componenti

(1,0,0)=a(1,1,0)+b(-4,0,1)+c(-4,-1,1)

Svolgiamo le operazioni tra vettori a secondo membro

(1,0,0)=(a-4b-4c, \ a-c, \ b+c)

e richiediamo che siano uguali le componenti che occupano la stessa posizione

\begin{cases}a-4b-4c=1 \\ a-c=0 \\ b+c=0\end{cases}

Procedendo con il metodo di sostituzione si ottiene la soluzione

(a,b,c)=(1,-1,1)

dunque

\mathbf{e}_1=a\mathbf{v}_1+b\mathbf{v}_2+c\mathbf{v}_3 = \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3

Da ciò segue che

f(\mathbf{e}_1)=f(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3)=

per la linearità dell'applicazione f

=f(\mathbf{v}_1)-f(\mathbf{v}_2)+f(\mathbf{v}_3)=

per le condizioni che definiscono f

=(0,0,0)-(0,0,0)+(12,3,-3) = (12,3,-3)

In definitiva, la prima colonna della matrice canonicamente associata a f è (12,3,-3)^T.

Procedendo allo stesso modo si trova che

\\ \mathbf{e}_2=\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3 \\ \\ \mathbf{e}_3=4 \mathbf{v}_1-3\mathbf{v}_2+4\mathbf{v}_3

e le rispettive immagini, nonché la seconda e la terza colonna di A_F^{\mathcal{C}}, sono:

\\ f(\mathbf{e}_2)=f(\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_3)= f(\mathbf{v}_2)-f(\mathbf{v}_3) = \\ \\ = (0,0,0)-(12,3,-3) = (-12,-3,3)

e

\\ f(\mathbf{e}_3)=f(4 \mathbf{v}_1-3\mathbf{v}_2+4\mathbf{v}_3) = \\ \\ = 4 f(\mathbf{v}_1)-3f(\mathbf{v}_2)+4f(\mathbf{v}_3) = \\ \\ = 4(12,3,-3) = (48,12,-12)

In conclusione:

A_F^{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}12 & -12 & 48 \\ 3 & -3 & 12 \\ -3 & 3 & -12\end{pmatrix}

e con questo è tutto!
Ringraziano: Omega, CarFaby, Kronoa
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Os