Matrice associata ad un'applicazione lineare dall'equazione del nucleo

Mi rivolgo a voi perché sono in difficoltà con un esercizio che chiede di calcolare la matrice associata a un'applicazione lineare di cui è nota l'equazione del nucleo e un'altra condizione. È una tipologia di esercizi che non ho mai incontrato, quindi non so come muovermi.

La trasformazione lineare ha il nucleo rappresentato dall'equazione

e soddisfa la condizione

Calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di .

Ci viene chiesto di calcolare la matrice canonicamente associata all'applicazione lineare di cui è noto che:

- il nucleo di è rappresentato dall'equazione

- soddisfa la condizione

Indichiamo con il nucleo di , che sappiamo essere il sottospazio vettoriale di così definito:

Calcoliamo una base di questo sottospazio definito da una sola equazione cartesiana.

Assegniamo a due incognite il ruolo di parametro libero

e ricaviamo dall'equazione che definisce

La forma vettoriale di un generico vettore di è

dunque una base di è formata dai vettori

Per definizione di nucleo, gli elementi di hanno come immagine mediante la lo zero del codominio, che in questo caso è il vettore nullo di , pertanto valgono le seguenti condizioni:

L'altro dato fornito dalla traccia ci dice che

cosicché non dobbiamo fare altro che calcolare la matrice associata a rispetto alla base canonica di sapendo che:

Prima di procedere è bene verificare che esiste.

I vettori preimmagine:

sono linearmente indipendenti, per cui formano una base di . Il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare ci assicura che esiste ed è unica.

La base canonica di è

e la matrice che rappresenta rispetto a questa base ha come colonne le immagini dei vettori di tramite .

Calcoliamole, partendo da .

Esprimiamo come combinazione lineare dei vettori . Imponiamo che sia

e calcoliamo i coefficienti che esistono e sono unici in quanto è una base di .

Sostituiamo ogni vettore con le proprie componenti

Svolgiamo le operazioni tra vettori a secondo membro

e richiediamo che siano uguali le componenti che occupano la stessa posizione

Procedendo con il metodo di sostituzione si ottiene la soluzione

dunque

Da ciò segue che

per la linearità dell'applicazione

per le condizioni che definiscono

In definitiva, la prima colonna della matrice canonicamente associata a è .

Procedendo allo stesso modo si trova che

e le rispettive immagini, nonché la seconda e la terza colonna di , sono:

e

In conclusione:

e con questo è tutto!