Integrale improprio fratto con radice di x

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Integrale improprio fratto con radice di x #91320

avt
judd79
Cerchio
Determinare il valore del seguente integrale definito con integranda fratta e radice di x

\int_0^1\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx

Riferimento: tema d'esame 01/07/2016 esercizio numero 6..
 
 

Re: Integrale improprio fratto con radice di x #91321

avt
Omega
Amministratore
In modo del tutto simile rispetto al precedente esercizio (Integrale improprio su [0,1] di una funzione razionale), qui abbiamo due possibili modi di procedere:

- calcolo diretto con la definizione di integrale improprio di seconda specie;

- uso di un opportuno criterio di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie, e successivo calcolo con la definizione di un integrale semplificato.

Diamo uno sguardo alla funzione integranda:

\int_0^1\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx

Il punto che genera la singolarità, in questo caso, è l'estremo superiore di integrazione: x=1. Di conseguenza possiamo lavorare considerando la seguente equivalenza asintotica per x\to 1

\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\sim_{x\to 1^-}\frac{1}{\sqrt{x}-1}

Grazie al criterio del confronto asintotico tale osservazione ci riconduce allo studio della convergenza dell'integrale improprio

\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}-1}dx

Usiamo il metodo di calcolo degli integrali per sostituzione. Poniamo:

y=\sqrt{x}

da cui

x=y^2

e quindi

dx=2ydy

Attenzione agli estremi di integrazione

\\ x=0\ \to\ y=0\\ \\ x=1\ \to\ y=1

per cui l'integrale diventa

\int_0^1\frac{2y}{y-1}dy

Altro girone, altro regalo: applichiamo nuovamente il criterio del confronto asintotico

\frac{2y}{y-1}\sim_{y\to 1^-}\frac{2}{y-1}

Tralasciando il coefficiente, che è ininfluente ai fini della convergenza, passiamo a lavorare con l'integrale

\int_0^1\frac{1}{y-1}dy

Qui possiamo ricorrere alla definizione senza calcoli troppo laboriosi:

\\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_0^{1-\varepsilon}\frac{1}{y-1}dx=\\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[\log|y-1|\right]_0^{1-\varepsilon}=\\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[\log|1-\varepsilon-1|-\log|-1|\right]=\\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\log|-\varepsilon|=\\ \\ =\lim_{\varepsilon\to 0^+}\log(\varepsilon)=-\infty

dove il risultato si ricava tenendo presente il comportamento della funzione logaritmica. In conclusione l'integrale improprio diverge negativamente,.
Ringraziano: CarFaby
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Os