Integrale improprio fratto con radice di x

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Integrale improprio fratto con radice di x #91320

avt
judd79
Cerchio
Determinare il valore del seguente integrale definito con integranda fratta e radice di x

∫_0^1(x√(x))/(√(x)-1)dx

Riferimento: tema d'esame 01/07/2016 esercizio numero 6..
 
 

Re: Integrale improprio fratto con radice di x #91321

avt
Omega
Amministratore
In modo del tutto simile rispetto al precedente esercizio (Integrale improprio su [0,1] di una funzione razionale), qui abbiamo due possibili modi di procedere:

- calcolo diretto con la definizione di integrale improprio di seconda specie;

- uso di un opportuno criterio di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie, e successivo calcolo con la definizione di un integrale semplificato.

Diamo uno sguardo alla funzione integranda:

∫_0^1(x√(x))/(√(x)-1)dx

Il punto che genera la singolarità, in questo caso, è l'estremo superiore di integrazione: x = 1. Di conseguenza possiamo lavorare considerando la seguente equivalenza asintotica per x → 1

(x√(x))/(√(x)-1) ~ _(x → 1^-)(1)/(√(x)-1)

Grazie al criterio del confronto asintotico tale osservazione ci riconduce allo studio della convergenza dell'integrale improprio

∫_0^1(1)/(√(x)-1)dx

Usiamo il metodo di calcolo degli integrali per sostituzione. Poniamo:

y = √(x)

da cui

x = y^2

e quindi

dx = 2ydy

Attenzione agli estremi di integrazione

x = 0 → y = 0 ; x = 1 → y = 1

per cui l'integrale diventa

∫_0^1(2y)/(y-1)dy

Altro girone, altro regalo: applichiamo nuovamente il criterio del confronto asintotico

(2y)/(y-1) ~ _(y → 1^-)(2)/(y-1)

Tralasciando il coefficiente, che è ininfluente ai fini della convergenza, passiamo a lavorare con l'integrale

∫_0^1(1)/(y-1)dy

Qui possiamo ricorrere alla definizione senza calcoli troppo laboriosi:

= lim_(ε → 0^+)∫_0^(1-ε)(1)/(y-1)dx = lim_(ε → 0^+)[log|y-1|]_0^(1-ε) = lim_(ε → 0^+)[log|1-ε-1|-log|-1|] = lim_(ε → 0^+)log|-ε| = lim_(ε → 0^+)log(ε) = -∞

dove il risultato si ricava tenendo presente il comportamento della funzione logaritmica. In conclusione l'integrale improprio diverge negativamente,.
Ringraziano: CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os