Integrale improprio su [0,1] di una funzione razionale

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Integrale improprio su [0,1] di una funzione razionale #91317

avt
judd79
Cerchio
Studiare la convergenza del seguente integrale improprio di seconda specie, con integranda data da una funzione razionale

\int_0^1\frac{1}{x^2+2x}dx

Riferimento: tema d'esame 12/03/2016 esercizio numero 1 (parte seconda).
 
 

Re: Integrale improprio su [0,1] di una funzione razionale #91319

avt
Omega
Amministratore
Osservando l'integrale, e effettuando una valutazione preliminare dell'integranda agli estremi di integrazione, capiamo subito che ci troviamo di fronte ad un integrale improprio di seconda specie.

Qui abbiamo essenzialmente due modi per procedere:

- usare sin da subito la definizione di integrale improprio di seconda specie, e calcolare l'integrale usando il metodo dei fratti semplici;

- usare un criterio di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie e ricondurci ad un integrale improprio più semplice da studiare, o meglio meno calcolotico.

Opto per la seconda strada perché la ritengo didatticamente più utile.

Consideriamo la funzione integranda e appelliamoci al criterio del confronto asintotico. La singolarità compete l'estremo x=0, e possiamo facilmente ricavare la seguente equivalenza asintotica

\frac{1}{x^2+2x}=\frac{1}{x(x+2)}\sim_{x\to 0^+}\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}

In barba al coefficiente, che è irrilevante ai fini della convergenza, possiamo concludere che l'integrale improprio in esame ha il medesimo carattere rispetto al seguente integrale

\int_0^1\frac{1}{x}dx

Potremmo dichiarare l'esercizio qui concluso ma a patto di aver presente la tabella degli integrali impropri notevoli. Per completezza procedo esplicitamente

\int_0^1\frac{1}{x}dx=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^1\frac{1}{x}dx=

Abbiamo a che fare con un integrale fondamentale

=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[\log|x|]_{\varepsilon}^1=

Valutazioni agli estremi

=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[\log|1|-\log|\varepsilon|]=

A fronte del valore cui tende x, il valore assoluto è superfluo in ambo i termini

=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[-\log(\varepsilon)]=+\infty

Il risultato è immediato a patto di ricordare il comportamento della funzione logaritmica. L'integrale improprio proposto diverge positivamente.
Ringraziano: CarFaby, Mark_Knopfler
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Os