Limite fratto con McLaurin come limiti notevoli

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Limite fratto con McLaurin come limiti notevoli #91307

avt
judd79
Cerchio
Calcolare, usando gli sviluppi di McLaurin, il seguente limite fratto con logaritmo e seno

\lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x}{2}\right)}{\sin(3x)}

Riferimento: tema d'esame 12/03/2016 esercizio numero 5.
 
 

Re: Limite fratto con McLaurin come limiti notevoli #91308

avt
Omega
Amministratore
Premessa: leggere con molta calma e attenzione.

Questo esercizio mi fornisce un assist perfetto per ribadire una questione che qui su YM abbiamo dibattuto e ribadito dall'alba dei tempi. Ottimo!

Dunque, l'esercizio ci chiede di usare gli sviluppi di Taylor (ed in particolare di McLaurin, quindi con centro x=0) per calcolare il limite

\lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x}{2}\right)}{\sin(3x)}

Poco fa abbiamo visto un limite con una richiesta del tutto analoga: limite da calcolare con McLaurin.

Parto subito dalla morale della favola: qui il calcolo del limite mediante gli sviluppi di Taylor-McLaurin, inteso come tecnica di calcolo che prevede di sviluppare le funzioni coinvolte fino ad un ordine non noto a priori, non è necessario.

Questo perché nella funzione non compaiono differenze né somme che implichino una cancellazione dei primi ordini di sviluppo non nulli.

Più precisamente, possiamo limitarci a usare i limiti notevoli per desumerne le relative equivalenze asintotiche (come usare i limiti notevoli).

Ma, in realtà, tale tecnica consiste esattamente nel considerare gli sviluppi delle funzioni coinvolte al primo ordine non nullo di sviluppo, quindi stiamo esaudendo perfettamente la richiesta dell'esercizio per come è scritta.

È tutta una questione di linguaggio:

- equivalenze asintotiche dei limiti notevoli = sviluppi di Taylor al primo ordine non nullo (a parte l'equivalenza asintotica associata alla funzione coseno che è del secondo ordine). È una tecnica specifica che si basa sugli sviluppi di Taylor, anche se non sembra;

- limiti con gli sviluppi di Taylor = procedere con gli sviluppi fino ad un certo ordine, perché i primi ordini non nulli di sviluppo si cancellano e qualsiasi altra tecnica indurrebbe in errore.

Qui procediamo con le equivalenze asintotiche dei limiti notevoli, che sono sviluppi di Taylor, anche se non sembrerebbe. E come sono solito fare in questi casi, raccomando una lettura religiosa della lezione limiti con Taylor.

\lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{x}{2}\right)}{\sin(3x)}

Grazie al limite notevole del logaritmo

\log\left(1+\frac{x}{2}\right)\sim_{x\to 0}\frac{x}{2}

Se volessimo peccare di pedanteria:

\log\left(1+\frac{x}{2}\right)=\frac{x}{2}+o(x)

Dal limite notevole del seno

\sin(3x)\sim_{x\to 0}3x

Idem come sopra

\sin(3x)=3x+o(x)

Passiamo così al limite equivalente che calcoliamo esprimendo la frazione di frazioni in forma normale e semplificando x

\lim_{x\to 0}\frac{\frac{x}{2}}{3x}=\lim_{x\to0}\frac{x}{6x}=\frac{1}{6}

PS: da notare come la tecnica delle equivalenze asintotiche derivanti dai limiti notevoli consenta di omettere gli o-piccolo.
Ringraziano: CarFaby
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Os