Sviluppo di Taylor di un polinomio

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Sviluppo di Taylor di un polinomio #91305

avt
judd79
Cerchio
Scrivere lo sviluppo di Taylor centrato in x=2 per il polinomio

y=x^3-x

Riferimento: tema d'esame 12/03/2016 esercizio numero 6.
 
 

Re: Sviluppo di Taylor di un polinomio #91306

avt
Omega
Amministratore
Esercizio interessante perché apparentemente potrebbe manifestare qualche insidia, anche se in realtà qui non ce ne sono.

Uno sviluppo di Taylor è un polinomio che, sotto opportune ipotesi, permette di approssimare una funzione nell'intorno di un punto, e in certi casi di esprimere la medesima funzione sotto forma di polinomio.

Qui dobbiamo calcolare lo sviluppo di Taylor di una funzione polinomiale: nessun problema, procediamo usando la formula fornita dal teorema. Nessun problema perché un polinomio è una funzione derivabile infinite volte su tutto l'asse reale.

f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-x_0)^n

dove f^{(n)}(x) indica la derivata di ordine n della funzione, n! indica il fattoriale di n ed x_0 è il centro dello sviluppo.

Nel nostro caso

f(x)=x^3-x,\ \ \ x_0=2

Calcoliamo i termini corrispondenti a ciascun indice, tanto già sappiamo che da un certo ordine in poi tutte le derivate - e dunque tutti i termini dello sviluppo - saranno nulli.

\\ f(2)=8-2=6\\ \\ f'(x)=3x^2-1\ \to\ f'(2)=11\\ \\ f''(x)=6x\ \to\ f''(2)=12\\ \\ f'''(x)=6\ \to\ f'''(2)=6\\ \\ f^{(4)}(x)=0\ \to\ f^{(4)}(2)=0

Ok, scriviamo lo sviluppo

f(x)=\frac{6}{0!}(x-2)^0+\frac{11}{1}(x-2)+\frac{12}{2}(x-2)^2+\frac{6}{6}(x-2)^3

Dal terzo ordine in poi tutti i termini dello sviluppo saranno nulli. Non ci resta che riscrivere lo sviluppo esplicitando i calcoli

f(x)=6+11(x-2)+6(x-2)^2+(x-2)^3

Attenzione: è opportuno lasciare il polinomio in questa forma, ogni possibile semplificazione farebbe perdere di vista il centro dello sviluppo.

Non è affatto necessario sviluppare il quadrato di binomio tanto meno il cubo di binomio presenti.
Ringraziano: CarFaby
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Os