Sviluppo di Taylor di un polinomio

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#91305
avt
judd79
Cerchio
Scrivere lo sviluppo di Taylor centrato in x=2 per il polinomio

y = x^3-x

Riferimento: tema d'esame 12/03/2016 esercizio numero 6.
#91306
avt
Omega
Amministratore
Esercizio interessante perché apparentemente potrebbe manifestare qualche insidia, anche se in realtà qui non ce ne sono.

Uno sviluppo di Taylor è un polinomio che, sotto opportune ipotesi, permette di approssimare una funzione nell'intorno di un punto, e in certi casi di esprimere la medesima funzione sotto forma di polinomio.

Qui dobbiamo calcolare lo sviluppo di Taylor di una funzione polinomiale: nessun problema, procediamo usando la formula fornita dal teorema. Nessun problema perché un polinomio è una funzione derivabile infinite volte su tutto l'asse reale.

f(x) = Σ_(n = 0)^(+∞)(f^(n)(x))/(n!)(x-x_0)^n

dove f^(n)(x) indica la derivata di ordine n della funzione, n! indica il fattoriale di n ed x_0 è il centro dello sviluppo.

Nel nostro caso

f(x) = x^3-x, x_0 = 2

Calcoliamo i termini corrispondenti a ciascun indice, tanto già sappiamo che da un certo ordine in poi tutte le derivate - e dunque tutti i termini dello sviluppo - saranno nulli.

f(2) = 8-2 = 6 ; f'(x) = 3x^2-1 → f'(2) = 11 ; f''(x) = 6x → f''(2) = 12 ; f'''(x) = 6 → f'''(2) = 6 ; f^(4)(x) = 0 → f^(4)(2) = 0

Ok, scriviamo lo sviluppo

f(x) = (6)/(0!)(x-2)^0+(11)/(1)(x-2)+(12)/(2)(x-2)^2+(6)/(6)(x-2)^3

Dal terzo ordine in poi tutti i termini dello sviluppo saranno nulli. Non ci resta che riscrivere lo sviluppo esplicitando i calcoli

f(x) = 6+11(x-2)+6(x-2)^2+(x-2)^3

Attenzione: è opportuno lasciare il polinomio in questa forma, ogni possibile semplificazione farebbe perdere di vista il centro dello sviluppo.

Non è affatto necessario sviluppare il quadrato di binomio tanto meno il cubo di binomio presenti.
Ringraziano: CarFaby
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