Integrale di una funzione razionale con numeratore di grado superiore

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Integrale di una funzione razionale con numeratore di grado superiore #91300

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale in cui il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore:

\int \frac{x^2-3x+2}{x+4}dx

Riferimento: tema d'esame 01/07/2016 esercizio numero 4.
 
 

Re: Integrale di una funzione razionale con numeratore di grado superiore #91304

avt
Galois
Coamministratore
Rieccoci!

\int{\frac{x^2-3x+2}{x+4}}dx

è l'integrale di una funzione razionale con numeratore

N(x)=x^2-3x+2

di grado maggiore al grado del denominatore

D(x)=x+4

Eseguendo la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore si ottiene come quoziente e resto

Q(x)=x-7\ \ \ ;\ \ \ R(x)=30

Pertanto

\\ \int{\frac{x^2-3x+2}{x+4}}dx=\int{Q(x)}dx + \int{\frac{R(x)}{D(x)}}dx = \\ \\ \\ = \int{(x-7)dx}+\int{\frac{30}{x+4}}dx=

sfruttando le proprietà di linearità e additività dell'integrale

=\int {x} dx - 7\int{dx} + 30 \int{\frac{1}{x+4}}dx=

(avendo ben presenti gli integrali notevoli)

=\frac{x^2}{2}-7x+30\log|x+4|+c

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby
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Os