Integrale di una funzione razionale con numeratore di grado superiore

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Integrale di una funzione razionale con numeratore di grado superiore #91300

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale di una funzione razionale in cui il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore:

∫ (x^2-3x+2)/(x+4)dx

Riferimento: tema d'esame 01/07/2016 esercizio numero 4.
 
 

Re: Integrale di una funzione razionale con numeratore di grado superiore #91304

avt
Galois
Amministratore
Rieccoci!

∫(x^2-3x+2)/(x+4)dx

è l'integrale di una funzione razionale con numeratore

N(x) = x^2-3x+2

di grado maggiore al grado del denominatore

D(x) = x+4

Eseguendo la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore si ottiene come quoziente e resto

Q(x) = x-7 ; R(x) = 30

Pertanto

∫(x^2-3x+2)/(x+4)dx = ∫Q(x)dx+∫(R(x))/(D(x))dx = ∫(x-7)dx+∫(30)/(x+4)dx =

sfruttando le proprietà di linearità e additività dell'integrale

= ∫ x dx-7∫dx+30 ∫(1)/(x+4)dx =

(avendo ben presenti gli integrali notevoli)

= (x^2)/(2)-7x+30log|x+4|+c

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby
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Os