Problema di Cauchy con edo lineare non omogenea del primo ordine

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Problema di Cauchy con edo lineare non omogenea del primo ordine #91298

avt
judd79
Cerchio
Risolvere il seguente problema di Cauchy definito mediante un'equazione differenziale lineare non omogenea del primo ordine

\begin{cases}y+y'=e^x\\ y(0)=0\end{cases}

Riferimento: tema d'esame 12/03/2016 esercizio numero 3.
 
 

Re: Problema di Cauchy con edo lineare non omogenea del primo ordine #91302

avt
Galois
Amministratore
Iniziamo col trovare l'integrale generale della seguente equazione differenziale lineare del primo ordine

y'+y=e^x

che è della forma

y'+a_0 y=g(x)

con a_0=1 \mbox{ e } g(x)=e^x

L'integrale generale di questo genere di edo si ottiene applicando la seguente formula risolutiva:

y(x)=e^{-A(x)}\left[c_1+\int{g(x)e^{A(x)}}dx\right]

con

A(x)=\int{a_0}dx = \int {dx} = x

Pertanto

e^{A(x)}=e^x \mbox{ e } e^{-A(x)}=e^{-x}

Ragion per cui

\\ y(x)=e^{-A(x)}\left[c_1+\int{g(x)e^{A(x)}}dx\right] \\ \\ = e^{-x}\left[c_1+\int(e^x\cdot e^x)dx\right]= \\ \\ = c_1e^{-x} + e^{-x}\int e^{2x}dx =c_1e^{-x}+e^{-x}\cdot \frac{e^{2x}}{2}= \\ \\ = c_1e^{-x}+\frac{1}{2}e^x

Quindi la famiglia di soluzioni dell'equazione differenziale

y'+y=e^x

è

y(x)=c_1e^{-x}+\frac{1}{2}e^x


Possiamo ora imporre la condizione iniziale y(0)=0 così da ottenere

0=c_1 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1 \iff c_1 = -\frac{1}{2}

Pertanto l'unica soluzione del PdC iniziale è

y(x)=-\frac{1}{2}e^{-x}+\frac{1}{2}e^x

È tutto! In caso di dubbi leggi la lezione che ti ho linkato dove spiega nel dettaglio come si applica la formula risolutiva per l'edo lineari del primo ordine. emt
Ringraziano: CarFaby
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Os