Integrale improprio di prima specie con la definizione

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Integrale improprio di prima specie con la definizione #91290

avt
judd79
Cerchio
Studiare la convergenza del seguente integrale improprio di prima specie utilizzando la definizione

\int_0^{-\infty}(2x-1)e^{-x}

Riferimento: tema d'esame 22/01/2016 esercizio numero 2 (parte seconda).
 
 

Re: Integrale improprio di prima specie con la definizione #91292

avt
Omega
Amministratore
Ci troviamo di fronte ad un integrale improprio di prima specie, come suggerito dagli stessi estremi di integrazione.

Di norma per studiare la convergenza degli integrali impropri si può procedere con una serie di considerazioni di natura qualitativa sull'integranda, e successivamente applicare uno dei criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie.

Qui però abbiamo un'integranda piuttosto semplice, e soprattutto che ammette una primitiva esprimibile in termini di funzioni elementari. In parole povere possiamo calcolare esplicitamente l'integrale, dunque conviene procedere in questo modo.

\int_0^{-\infty}(2x-1)e^{-x}dx

Riscriviamo l'integrale in accordo con la definizione di integrale improprio di prima specie

\lim_{M\to+\infty}\int_0^{-M}(2x-1)e^{-x}dx

Abbiamo il prodotto tra un termine lineare ed un'esponenziale: la strada più ragionevole prevede di procedere con l'integrazione per parti.

Come derivata consideriamo e^{-x}, una cui primitiva è -e^{-x}; così facendo il termine lineare si ridurrà ad una costante post derivazione nel successivo integrale

\lim_{M\to+\infty}\left[-e^{-x}(2x-1)|_0^{-M}-\int_0^{-M}(-e^{-x})\cdot 2dx\right]

Calcoletti e valutazione agli estremi per il primo termine

\lim_{M\to+\infty}\left[-e^{M}(-2M-1)-(-1)\cdot(-1)+2\int_0^{-M}e^{-x}dx\right]

Da cui (attenzione ai segni)

\\ \lim_{M\to+\infty}\left[2Me^{M}+e^M-1+2\left(-e^{-x}\right)_0^{-M}\right]=\\ \\ =\lim_{M\to+\infty}\left[2Me^{M}+e^M-1+2\left(-e^{M}+1\right)\right]=\\ \\ =\lim_{M\to+\infty}\left[2Me^{M}+e^M-1-2e^M+2\right]=\\ \\ =\lim_{M\to+\infty}\left[2Me^{M}-e^M+1\right]=

Ora, la costante additiva è ininfluente nei confronti degli infiniti coinvolti nella somma. Passiamo al limite equivalente

\lim_{M\to+\infty}e^M\left[2M-1\right]=+\infty

e ricaviamo facilmente che l'integrale diverge positivamente, perché ci siamo ridotti al prodotto tra due infiniti (algebra degli infiniti e degli infinitesimi).
Ringraziano: CarFaby
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Os