Integrale con potenza e arcotangente al quadrato

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Integrale con potenza e arcotangente al quadrato #91288

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale con il prodotto tra un termine cubico ed un'arcotangente elevata al quadrato

∫ x^3arctan^2(x)dx

Riferimento: tema d'esame 06/05/2016 esercizio numero 6.
 
 

Re: Integrale con potenza e arcotangente al quadrato #91296

avt
Galois
Amministratore
Per calcolare il seguente integrale dato dal prodotto tra x^3 ed il quadrato dell'arcotangente

∫x^3arctan^2(x)dx

occorre procedere con il metodo di integrazione per parti.

Poniamo

g'(x) = x^3 da cui g(x) = (x^4)/(4) ; f(x) = arctan^2(x) da cui f'(x) = 2arctan(x)·(1)/(1+x^2)

Per il calcolo di quest'ultima derivata bisogna applicare la regola di derivazione per la funzione composta e ricordare qual è la derivata dell'arcotangente.

Avremo così:

∫x^3arctan^2(x)dx = (x^4)/(4)arctan^2(x)-∫((2arctan(x))/(1+x^2)·(x^4)/(4))dx = (x^4)/(4)arctan^2(x) (•)-(1)/(2)∫(arctan(x)·(x^4)/(1+x^2))dx (• •)

Ora, senza dimenticarci di (•) calcoliamo l'integrale

∫(arctan(x)·(x^4)/(1+x^2))dx

applicando, ancora una volta, il metodo di integrazione per parti. Poniamo

f(x) = arctan(x) da cui f'(x) = (1)/(1+x^2) ; g'(x) = (x^4)/(x^2+1) da cui g(x) = ∫(x^4)/(x^2+1)dx

Risolviamo quest'ultimo integrale ricorrendo ad un piccolo barbatrucco, ossia sommando e sottraendo 1 a numeratore.

g(x) = ∫(x^4)/(x^2+1)dx = ∫(x^4-1+1)/(x^2+1)dx = ∫(x^4-1)/(x^2+1)dx+∫(1)/(1+x^2)dx = ∫((x^2-1)(x^2+1))/(x^2+1)dx+∫(1)/(1+x^2)dx = ∫(x^2-1)dx+∫(1)/(1+x^2)dx = (x^3)/(3)-x+arctan(x)+c

Ossia, ricapitolando, stiamo integrando

(• •) ∫(arctan(x)·(x^4)/(1+x^2))dx

per parti ed abbiamo posto

f(x) = arctan(x) da cui f'(x) = (1)/(1+x^2) ; g'(x) = (x^4)/(x^2+1) da cui g(x) = ∫(x^4)/(x^2+1)dx = (x^3)/(3)-x+arctan(x)

Abbiamo così

(• •) ∫(arctan(x)·(x^4)/(1+x^2))dx = ; arctan(x)·((x^3)/(3)-x+arctan(x)) (• • •)-; ∫(1)/(x^2+1)((x^3)/(3)-x+arctan(x))dx (• • • •)

Ancora, senza dimenticarci di (• • •) procediamo al calcolo di

(• • • •)∫(1)/(x^2+1)((x^3)/(3)-x+arctan(x))dx

Svolgendo il prodotto e ricorrendo alle proprietà di additività e linearità dell'integrale abbiamo

∫(1)/(x^2+1)((x^3)/(3)-x+arctan(x))dx = (1)/(3)∫(x^3)/(x^2+1)dx-∫(x)/(x^2+1)dx+∫(arctan(x))/(1+x^2)dx

Risolviamo singolarmente questi tre integrali. Ricorrendo al metodo dei fratti semplici vien fuori

(1)/(3)∫(x^3)/(x^2+1)dx = (1)/(3)∫xdx-(1)/(3)∫(x)/(x^2+1)dx = (1)/(3)·(x^2)/(2)-(1)/(6)∫(2x)/(1+x^2)dx = (x^2)/(6)-(1)/(6)log|x^2+1|+c

Inoltre

-∫(x)/(x^2+1)dx = -(1)/(2)∫(2x)/(1+x^2)dx = -(1)/(2)log|x^2+1|+c

e

∫(arctan(x))/(x^2+1)dx = (arctan^2(x))/(2)+c

Quasi inutile dire che per affrontare questo genere di integrali occorre ricordare e conoscere più che bene gli integrali fondamentali.

Abbiamo così ottenuto che

(• • • •)∫(1)/(x^2+1)((x^3)/(3)-x+arctan(x))dx = ; (x^2)/(6)-(1)/(6)log(x^2+1)-(1)/(2)log(x^2+1)+(arctan^2(x))/(2)+c = (x^2)/(6)-(2)/(3)log(x^2+1)+(arctan^2(x))/(2)+c

Non ci rimane altro da fare se non mettere insieme i vari pezzi del puzzle:

∫x^3arctan^2(x)dx = (x^4)/(4)arctan^2(x)-(1)/(2)∫(arctan(x)·(x^4)/(1+x^2))dx = ; (x^4)/(4)arctan^2(x)-(x^3)/(6)arctan(x)+(x)/(2)arctan(x)+(1)/(2)arctan^2(x)+; (x^2)/(12)-(1)/(3)log(x^2+1)-(arctan^2(x))/(4) =

con qualche semplificazione

= (x^4-1)/(4)arctan^2(x)+((x)/(2)-(x^3)/(6))arctan(x)+;-(1)/(3)log(x^2+1)+(x^2)/(12)+c

È tutto! emt
Ringraziano: CarFaby
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Os