Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2

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Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2 #91287

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale con integranda data da una funzione razionale

\int \frac{x^3}{x^2-4x+4}dx

Riferimento: tema d'esame 22/01/2016 esercizio numero 2 (parte prima).
 
 

Re: Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2 #91291

avt
Galois
Coamministratore
Siamo di fronte ad un integrale di una funzione razionale con numeratore

N(x)=x^3

di grado maggiore al grado del denominatore

D(x)=x^2-4x+4

Eseguiamo allora la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore. Procedendo come spiegato nella lezione del link otterrai come quoziente e resto della divisione

Q(x)=x+4\ \ \ ;\ \ \ R(x)=12x-16

Pertanto

\\ \int{\frac{x^3}{x^2-4x+4}}dx=\int{Q(x)}dx + \int{\frac{R(x)}{D(x)}}dx = \\ \\ \\ = \int{(x+4)dx}+\int{\frac{12x-16}{x^2-4x+4}}dx

Ora, sfruttando le proprietà di linearità e additività dell'integrale abbiamo

\int{(x+4)dx}=\int {x} dx + 4\int{dx} = \frac{x^2}{3}+4x+c

mentre

\int{\frac{12x-16}{x^2-4x+4}}dx=4\int{\frac{3x-4}{(x-2)^2}}dx

Ricorrendo al metodo dei fratti semplici possiamo scrivere la funzione integranda come

\frac{3x-4}{(x-2)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^2}=\frac{Ax-2A+B}{(x-2)^2}

Per il principio di identità dei polinomi deve essere

\begin{cases}A=3\\ B-2A=-4\end{cases}

da cui

\begin{cases}A=3\\ B=2\end{cases}

Pertanto

\\ \int{\frac{12x-16}{x^2-4x+4}}dx=4\int{\frac{3x-4}{(x-2)^2}}dx = \\ \\ \\ =4 \left[\int{\frac{3}{x-2}}dx +\int{\frac{2}{(x-2)^2}}dx \right] = \\ \\ \\ = 12 \int{\frac{1}{x-2}}dx+8\int{\frac{1}{(x-2)^2}}dx=

(ricordando integrali notevoli)

=12\log|x-2|+\frac{8}{2-x}+c

Mettendo insieme i vari pezzi possiamo concludere che

\int{\frac{x^3}{x^2-4x+4}}dx=\frac{x^2}{2}+4x+12\log|x-2|+\frac{8}{2-x}+c

È tutto!
Ringraziano: CarFaby

Re: Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2 #99630

avt
Virgo A
Punto
Non ho capito il perchè dell'ultimo cambio di segno \frac{8}{2-x} emt
Me lo potete spiegare?

Re: Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2 #99637

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Virgo A!

In buona sostanza devi risolvere l'integrale

\int\frac{1}{(x-2)^2}dx=

In accordo con la definizione di potenza con esponente negativo, possiamo esprimere \frac{1}{(x-2)^2} nella forma (x-2)^{-2}

=\int (x-2)^{-2}dx=(\bullet)

A questo punto siamo autorizzati a usare la regola di integrazione

\int [f(x)]^{\alpha}f'(x)dx=\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\ \ \ \mbox{con} \ \alpha\ne -1

grazie alla quale l'integrale diventa

(\bullet)=\frac{(x-2)^{-2+1}}{-2+1}+c=-(x-2)^{-1}+c=

da cui

=-\frac{1}{x-2}+c=

Per questioni puramente estetiche possiamo trasportare il segno meno al denominatore e, grazie alla regola dei segni, scrivere:

=\frac{1}{-(x-2)}+c=\frac{1}{2-x}+c
Ringraziano: Virgo A
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Os