Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2

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Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2 #91287

avt
judd79
Cerchio
Calcolare il seguente integrale con integranda data da una funzione razionale

∫ (x^3)/(x^2-4x+4)dx

Riferimento: tema d'esame 22/01/2016 esercizio numero 2 (parte prima).
 
 

Re: Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2 #91291

avt
Galois
Amministratore
Siamo di fronte ad un integrale di una funzione razionale con numeratore

N(x) = x^3

di grado maggiore al grado del denominatore

D(x) = x^2-4x+4

Eseguiamo allora la divisione polinomiale tra numeratore e denominatore. Procedendo come spiegato nella lezione del link otterrai come quoziente e resto della divisione

Q(x) = x+4 ; R(x) = 12x-16

Pertanto

∫(x^3)/(x^2-4x+4)dx = ∫Q(x)dx+∫(R(x))/(D(x))dx = ∫(x+4)dx+∫(12x-16)/(x^2-4x+4)dx

Ora, sfruttando le proprietà di linearità e additività dell'integrale abbiamo

∫(x+4)dx = ∫ x dx+4∫dx = (x^2)/(3)+4x+c

mentre

∫(12x-16)/(x^2-4x+4)dx = 4∫(3x-4)/((x-2)^2)dx

Ricorrendo al metodo dei fratti semplici possiamo scrivere la funzione integranda come

(3x-4)/((x-2)^2) = (A)/(x-2)+(B)/((x-2)^2) = (Ax-2A+B)/((x-2)^2)

Per il principio di identità dei polinomi deve essere

A = 3 ; B-2A = -4

da cui

A = 3 ; B = 2

Pertanto

∫(12x-16)/(x^2-4x+4)dx = 4∫(3x-4)/((x-2)^2)dx = 4 [∫(3)/(x-2)dx+∫(2)/((x-2)^2)dx ] = 12 ∫(1)/(x-2)dx+8∫(1)/((x-2)^2)dx =

(ricordando integrali notevoli)

= 12log|x-2|+(8)/(2-x)+c

Mettendo insieme i vari pezzi possiamo concludere che

∫(x^3)/(x^2-4x+4)dx = (x^2)/(2)+4x+12log|x-2|+(8)/(2-x)+c

È tutto!
Ringraziano: CarFaby

Re: Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2 #99630

avt
Virgo A
Punto
Non ho capito il perchè dell'ultimo cambio di segno (8)/(2-x) emt
Me lo potete spiegare?

Re: Integrale di una funzione razionale con grado 3 e grado 2 #99637

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Virgo A!

In buona sostanza devi risolvere l'integrale

∫(1)/((x-2)^2)dx =

In accordo con la definizione di potenza con esponente negativo, possiamo esprimere (1)/((x-2)^2) nella forma (x-2)^(-2)

= ∫ (x-2)^(-2)dx = (•)

A questo punto siamo autorizzati a usare la regola di integrazione

∫ [f(x)]^(α)f'(x)dx = ([f(x)]^(α+1))/(α+1)+c con α ne-1

grazie alla quale l'integrale diventa

(•) = ((x-2)^(-2+1))/(-2+1)+c = -(x-2)^(-1)+c =

da cui

= -(1)/(x-2)+c =

Per questioni puramente estetiche possiamo trasportare il segno meno al denominatore e, grazie alla regola dei segni, scrivere:

= (1)/(-(x-2))+c = (1)/(2-x)+c
Ringraziano: CarFaby, Virgo A
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