Successione definita per ricorrenza mediante una equazione

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Successione definita per ricorrenza mediante una equazione #91283

avt
judd79
Cerchio
Trovare una forma esplicita della successione definita per ricorrenza mediante la seguente equazione:

\begin{cases}a_0=1\\ a_n=4a_{n-1}-3\end{cases}

Riferimento: tema d'esame 22/01/2016 esercizio numero 4.
 
 

Re: Successione definita per ricorrenza mediante una equazione #91284

avt
Omega
Amministratore
Attenzione, attenzione: questo esercizio vuole impartire una grandissima lezione agli studenti cui viene proposto!

Sappiamo che esiste un metodo più o meno calcolotico - detto metodo delle funzioni generatrici - che permette di determinare l'espressione esplicita di una successione definita ricorsivamente mediante un'equazione. Qui ne puoi consultare un esempio (equazione di ricorrenza con le funzioni generatrici) e tra l'altro, tra i millemila esercizi che ci hai sottoposto via mail, ce n'è uno che richiedere l'applicazione esplicita di tale metodo.

In quell'esercizio vedremo come applicare il metodo delle funzioni generatrici nel dettaglio, ma allora perché ho fatto questa lunga premessa e qual è l'insegnamento che vuole dare il qui presente esercizio?

Semplice: ogni volta che abbiamo una successione definita per ricorrenza, conviene sempre scrivere esplicitamente i primi termini. Chissà, magari potremmo avere un colpo di fortuna... emt

\begin{cases}a_0=1\\ a_n=4a_{n-1}-3\end{cases}

Consideriamo i primi termini della successione

\\ a_0=1\\ \\ a_1=4a_0-3=4\cdot 1-3=4-3=1\\ \\ a_2=4a_1-3=4\cdot 1-3=4-3=1\\ \\ a_3=4a_2-3=4\cdot 1-3=4-3=1\\ \\ a_4=4a_3-3=4\cdot 1-3=4-3=1

Abbiamo già finito: non serve un grande sforzo per capire che, a prescindere dall'elemento considerato, ci ritroveremo sempre alla valutazione imposta dalla condizione iniziale (ossia alla prima iterazione).

Soluzione: a_n=1\ \forall n, successione costante.
Ringraziano: CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os