Equazione differenziale lineare del primo ordine omogenea con seno e coseno

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Equazione differenziale lineare del primo ordine omogenea con seno e coseno #91281

avt
judd79
Cerchio
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine con termini trigonometrici:

\sin(x)y'-\cos(x)y=0

Riferimento: tema d'esame 22/01/2016 esercizio numero 5.
 
 

Re: Equazione differenziale lineare del primo ordine omogenea con seno e coseno #91282

avt
Omega
Amministratore
Le equazioni differenziali lineari del primo ordine sono le più semplici possibili da risolvere, in linea di massima, perché il metodo di risoluzione prevede di applicare una semplice formula che permette di individuare velocemente la famiglia di soluzioni.

Supponendo di scrivere l'edo nella forma

y'(x)+a_0(x)y(x)=g(x)

La soluzione è data da

\\ y(x)= e^{-A(x)}\left[c_1+\int\left(g(x) e^{A(x)}\right)dx\right]\\ \\ \mbox{dove }\ A(x):=\int a_{0}(x)dx\\ \\ \mbox{e }c_1\mbox{ costante arbitraria}

Tale formula vale ovviamente anche nel caso omogeneo, ossia quello per cui risulta g(x)=0.

Dai, applichiamo la suddetta formula. Riscriviamo l'equazione differenziale lineare omogenea del primo ordine

\sin(x)y'-\cos(x)y=0

e portiamola nella forma "canonica"

y'-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}y=0

La formula si riduce a

y(x)=c_1e^{-A(x)}\ \ \ (\bullet)

Calcoliamo il termine A(x)

\\ A(x)=\int a_{0}(x)dx=\int -\frac{\cos(x)}{\sin(x)}dx

A questo punto dobbiamo risolvere un integrale piuttosto semplice. Procediamo con l'integrazione per sostituzione e usiamo il barbatrucco del calcolo diretto del differenziale

\\ z=\sin(x)\\ \\ dz=\cos(x)dx

Bello, no? A numeratore il differenziale dz è già apparecchiato!

\int -\frac{\cos(x)}{\sin(x)}dx=-\int\frac{dz}{z}=-\log|z|+k

dove k è una costante arbitraria che individua la famiglia di primitive dell'integranda.

In sintesi

A(x)=-\log|\sin(x)|+k

Riprendiamo la formula (\bullet)

y(x)=c_1e^{-\log|\sin(x)|-k}

Grazie alle proprietà delle potenze possiamo scrivere

y(x)=c_1e^{-k}e^{\log|\sin(x)|}

Non ci resta che chiamare il blocco costante come c e applicare la definizione di logaritmo

y(x)=c|\sin(x)|

e abbiamo trovato la famiglia di soluzioni dell'equazione differenziale assegnata.
Ringraziano: CarFaby
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Os