Limite da calcolare con McLaurin

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Limite da calcolare con McLaurin #91279

avt
judd79
Cerchio
Usando gli sviluppi in serie di Taylor-McLaurin, calcolare il seguente limite fratto per x che tende a zero:

\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-\sin(3x)-1}{\log(1-2x)}

Riferimento: tema d'esame 22/01/2016 esercizio numero 1.
 
 

Re: Limite da calcolare con McLaurin #91280

avt
Omega
Amministratore
Per procedere al calcolo del limite useremo, come richiesto dalla traccia, gli sviluppi in serie di Taylor ed in particolare gli sviluppi di Taylor-McLaurin, in cui per definizione il centro di sviluppo è x_0=0.

\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-\sin(3x)-1}{\log(1-2x)}

Anche senza l'indicazione della traccia un occhio attento ed allenato noterebbe subito la necessità di procedere seguendo tale strada, perché al numeratore è presente una differenza di termini che coincidono al primo ordine non nullo di sviluppo.

In accordo con i limiti notevoli (si veda eventualmente come usare i limiti notevoli) avremmo infatti

\\ e^{3x}-1\sim_{x\to 0}3x\\ \\ \sin(3x)\sim_{x\to 0}3x

e quindi concluderemmo erroneamente che il limite vale zero. In realtà il metodo dei limiti notevoli si perde le differenze che sussistono tra i due termini oltre il primo ordine di sviluppo non nullo. E lì ci arriva solo Taylor-McLaurin.

Ad ogni modo tutte queste considerazioni vengono ampiamente spiegate nella lezione sui limiti con Taylor.

Procediamo e sviluppiamo i termini a numeratore oltre il primo ordine non nullo di sviluppo. Serviamoci pure degli sviluppi notevoli:

e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)

da cui, per composizione

e^{3x}-1=3x+\frac{9x^2}{2}+\frac{27x^3}{6}+o(27x^3)

Grazie all'algebra degli o-piccolo sappiamo che o(27x^3)=o(x^3)

e^{3x}-1=3x+\frac{9x^2}{2}+\frac{27x^3}{6}+o(x^3)

Passiamo al secondo termine

\sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

da cui, per composizione

\sin(3x)=3x-\frac{27x^3}{6}+o(27x^3)

ossia

\sin(3x)=3x-\frac{27x^3}{6}+o(x^3)

Riguardo al denominatore non servono particolari sforzi, perché abbiamo un unico termine. Qui possiamo servirci dello sviluppo immediato fornito dal limite notevole del logaritmo

\log(1-2x)\sim_{x\to 0}-2x

Riscriviamo il limite

\\ \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-\sin(3x)-1}{\log(1-2x)}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{3x+\frac{9x^2}{2}+\frac{27x^3}{6}+o(x^3)-\left[3x-\frac{27x^3}{6}+o(x^3)\right]}{-2x}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{3x+\frac{9x^2}{2}+\frac{27x^3}{6}+o(x^3)-3x+\frac{27x^3}{6}-o(x^3)}{-2x}=

Con le dovute semplificazioni, e ricordando la regola degli o-piccoli

o(x^n)\pm o(x^m)=o(x^n)\ \ \mbox{ se }n\geq m

ricaviamo

\\ =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{9x^2}{2}+\frac{27x^3}{3}+o(x^3)}{-2x}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{9x}{2}+\frac{27x^2}{3}+o(x^2)}{-2}=0

dove nel penultimo passaggio ho usato la regola degli o-piccolo

x^mo(x^n)=o(x^{m+n})\ \forall m,n

In definitiva l'intero rapporto è asintoticamente equivalente, per x tendente a zero, a -\frac{9}{4}x.
Ringraziano: CarFaby, Wtfood
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Os