Equazione diofantea di secondo grado

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Equazione diofantea di secondo grado #91270

avt
giuseppemm
Punto
Ho una curiosità, una equazione di questo tipo:

9xy+6x+6y-21=0

che poi equivale a:

(3x+2)(3y+2)=25

è determinabile per valori interi?

Io non ci sono riuscito, ma la mia matematica è molto arrugginita, ho visto però che inserendola su WolframAlpha, trova come valori interi:

x=-9, y=-1
x=-1, y=-9
x=1, y=1

Non ho capito però se semplicemente testa una serie di numeri interi su una incognita verificando se l'altra incognita restituisce un numero intero, o calcola in qualche modo le possibili soluzioni.

Grazie
 
 

Equazione diofantea di secondo grado #91286

avt
Galois
Amministratore
Ciao giuseppemm. emt

Un'equazione algebrica a coefficienti interi in una o più incognite di cui si cercano soluzioni intere si dice equazione diofantea.

Pertanto, trovare le soluzioni intere dell'equazione

9xy+6x+6y-21=0

equivale a voler risolvere l'equazione diofantea di secondo grado

9xy+6x+6y-21=0

Premetto che non esiste un metodo generale che permette di risolvere le equazioni diofantee di grado maggiore o uguale a 2, mentre l'algoritmo di Euclide permette di risolvere le equazioni diofantee di primo grado (ammesso che abbiano soluzione).

Se vuoi saperne di più puoi leggere la mia risposta a questo topic: equazione diofantea con l'algoritmo di Euclide.

Dopo questa premessa veniamo all'equazione da te proposta

6x+6y+9xy-21=0

di cui cerchiamo le sole soluzioni intere.

Scriviamo una delle due incognite in funzione dell'altra. Scrivendo l'equazione come

6x+3y(2+3x)-21=0

e portando le quantità che non dipendono da y a secondo membro otteniamo

3y(2+3x)=-6x+21

da cui

y=\frac{-6x+21}{3(2+3x)}

y=\frac{-6x+21}{6+9x}

(nulla sarebbe cambiato se avessimo ricavato la x in funzione della y).

Fatto ciò eseguiamo una divisione polinomiale tra il polinomio a numeratore e quello a denominatore.

(-6x+21):(9x+6) = -\frac{2}{3} \mbox{ con resto } 25

In caso di dubbi leggi la lezione dell'ultimo link.

Allora, per definizione di divisione

-6x+21=-\frac{2}{3}(9x+6)+25

In tal modo

y=\frac{-6x+21}{6+9x} = \frac{\frac{2}{3}(9x+6)+25}{9x+6}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{9x+6}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{3(3x+2)}

Ossia

y=-\frac{2}{3}+\frac{25}{3(3x+2)}

Da cui, moltiplicando membro a membro per 3:

3y=-2+\frac{25}{3x+2}

Attenzione ora! Assumendo che x ed y siano numeri interi, l'espressione a primo membro (3y) dà sempre un intero, mentre l'espressione a secondo membro dà un intero se e solo se 3x+2 divide 25.

Tutti e soli i divisori di 25 sono:

\pm 1, \ \ \pm 5, \ \ \pm 25

Quindi affinché 3x+2 divida 25, 3x+2 deve essere uno dei sei numeri appena riportati da cui, però, dovremo escludere quelli che non forniscono un numero intero.

\\ 3x+2=-1 \iff 3x=-3 \iff x=-1 \\ \\ 3x+2=1 \iff 3x=-1 \iff x=-\frac{1}{3} \to \mbox{ non accettabile} \\ \\ 3x+2=-5 \iff 3x=-7 \iff x=-\frac{7}{3} \to \mbox{ non accettabile} \\ \\ 3x+2=5 \iff 3x=3 \iff x=1 \\ \\ 3x+2=-25 \iff 3x=-27 \iff x=-9 \\ \\ 3x+2=25 \iff 3x=-23 \iff x=-\frac{23}{3} \to \mbox{ non accettabile}

Sostituendo i valori trovati per l'incognita x nell'equazione di partenza troviamo tutte e sole le possibili coppie di soluzioni intere cercate.

\\ \mbox{Per }x=1 \to y=1 \\ \\ \mbox{Per }x=-1 \to y=-9 \\ \\ \mbox{Per }x=-9 \to y=-1

È tutto! emt

Se la tua Matematica è un po' arrugginita sarà un ragionamento difficile da cogliere alla prima lettura, quindi ti invito a rileggere tutto con molta calma. emt
Ringraziano: CarFaby
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Os