Vettore parallelo e vettore ortogonale ad un sottospazio

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Vettore parallelo e vettore ortogonale ad un sottospazio #91265

avt
Kronoa
Cerchio
Ecco un esercizio sulla decomposizione di un vettore rispetto ad un vettore parallelo e ad un vettore ortogonale ad un sottospazio.

Sia U il sottospazio di \mathbb{R}^{4} avente la seguente rappresentazione cartesiana:

\begin{cases}x+y+z+t=0 \\ 2x+y-z-t=0\end{cases}

Decomporre il vettore x=(2,-3,1,27) nella somma di x=a+b con a parallelo ad U e b ortogonale ad U. Effettuare una verifica del risultato.
 
 

Vettore parallelo e vettore ortogonale ad un sottospazio #91278

avt
Galois
Coamministratore
Rieccoci emt

Siamo di fronte ad un sottospazio vettoriale U \mbox{ di } \mathbb{R}^4 definito tramite un sistema lineare omogeneo

\begin{cases}x+y+z+t=0 \\ 2x+y-z-t=0\end{cases}

e dobbiamo decomporre il vettore x=(2,-3,1,27) nella somma di x=a+b con a parallelo ad U e b ortogonale ad U.

Troviamo innanzitutto una base per U.

Per farlo procederemo come spiegato nella lezione su come ricavare una base da un sistema lineare omogeneo - click!

La matrice associata al sistema è

A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & -1\end{pmatrix}

il cui rango è, ovviamente, pari a 2.

Poiché U è un sottospazio di \mathbb{R}^4 (di dimensione 4), la dimensione di U è pari a

\mbox{dim}(U)=\mbox{dim}(\mathbb{R}^4)-\mbox{rank}(A)=4-2=2.

Assegniamo allora a 2 incognite il ruolo di parametro libero. Poniamo, ad esempio, z=a \mbox{ e } t=b e riscriviamo il sistema come

\begin{cases}x+y=-z-t \\ 2x+y=z+t\end{cases}

da cui

\begin{cases}x+y=-a-b \\ 2x+y=a+b\end{cases}

dalla prima equazione si ottiene

x=-y-a-b

da cui, sostituendo nella seconda

2(-y-a-b)+y=a+b \iff y=-3a-3b

Il sistema si riduce allora a

\begin{cases}x=-y-a-b \\ y=-3a-3b\end{cases}

ossia

\begin{cases}x=3a+3b-a-b \\ y=-3a-3b\end{cases}

\begin{cases}x=2a+2b \\ y=-3a-3b\end{cases}

Possiamo così concludere che le \infty^2 soluzioni del sistema sono

(x,y,z,t)=(2a+2b,-3a-3b,a,b)

Scrivendole sotto forma di combinazione lineare si ottiene una base di U.

(x,y,z,t)=(2a+2b,-3a-3b,a,b)=a(2,-3,1,0)+b(2,-3,0,1)

Pertanto una base di U è data da

\{(2,-3,1,0),(2,-3,0,1)\}

-----------

Dobbiamo ora decomporre il vettore x=(2,-3,1,27) nella somma di x=a+b con a parallelo ad U e b ortogonale ad U.

a lo possiamo trovare come la proiezione ortogonale p_U(x) del vettore x sul sottospazio U, mentre b sarà la proiezione ortogonale del vettore x sul complemento ortogonale U^{\perp} di U.

Facciamoci furbi però! Possiamo trovare a come la proiezione ortogonale del vettore x sul sottospazio U e ricavare b dalla differenza

b=x-a

In tal modo eviteremo di trovare il complemento ortogonale di U e ci risparmieremo il calcolo di una proiezione (che seppur semplice si porta dietro un bel po' di conti).

Procediamo.

Ricordiamo che per trovare la proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio vettoriale U occorre:

1) trovare una base per il sottospazio U (e lo abbiamo già fatto).

2) con il processo di Gram Schmidt rendere tale base ortonormale.

3) La proiezione ortogonale del generico vettore x su U è il vettore:

p_U(x)=<x,u_1>u_1+<x,u_2>u_2

dove \{u_1,u_2\} è una base ortonormale per U.

Visto che abbiamo già calcolato una base per U:

\{v_1=(2,-3,1,0), \ v_2=(2,-3,0,1)\}

rendiamola ortonormale ricorrendo al processo di Gram Schmidt.

Poniamo

w_1=v_1=(2,-3,1,0)

w_2=v_2-\frac{<v_2,w_1>}{<w_1,w_1>} w_1

Conosciamo sia le coordinate di v_2=(2,-3,0,1) sia quelle di w_1=(2,-3,1,0)

Dobbiamo quindi calcolare i due prodotti scalari:

\\ <v_2,w_1> = (2,-3,0,1) \cdot (2,-3,1,0) = 4+9+0+0=13 \\ \\ <w_2,w_1> = (2,-3,1,0) \cdot (2,-3,1,0) = 4+9+1+0=14

Pertanto

\\ w_2=v_2-\frac{<v_2,w_1>}{<w_1,w_1>} w_1 = \\ \\ \\ = (2,-3,0,1) - \frac{13}{14}(2,-3,1,0)= \\ \\ \\ = (2,-3,0,1)-\left(\frac{13}{7}, -\frac{39}{14}, \frac{1}{14},0\right)= \\ \\ \\  = \left(\frac{1}{7},-\frac{3}{14},-\frac{13}{14},0\right) = \\ \\ \\ = (2,-3,-13,14)

(nell'ultimo passaggio ho moltiplicato tutte le componenti per 14).

Una base ortogonale di U è allora

\{w_1=(2,-3,1,0), \ w_2=(2,-3,-13,14)\}

Normalizziamoli

||w_1||=\sqrt{14}, \ \ ||w_2||=\sqrt{4+9+169+196}=\sqrt{378}

Quindi una base ortonormale di U è formata dai vettori

\\ u_1=\left(\frac{2}{\sqrt{14}},-\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}},0\right), \\ \\ \\ u_2=\left(\frac{2}{\sqrt{378}},-\frac{3}{\sqrt{378}},-\frac{13}{\sqrt{378}},\frac{14}{\sqrt{378}}\right)

Abbiamo così tutto quello che ci occorre per calcolare la proiezione ortogonale cercata.

a=p_U(x)=<x,u_1>u_1+<x,u_2>u_2

Ora

\\ <x,u_1>=(2,-3,1,27) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{14}},-\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}},0\right) = \\ \\ \\ = \frac{4}{\sqrt{14}}+\frac{9}{\sqrt{14}}+\frac{1}{\sqrt{14}}+0 = \frac{14}{\sqrt{14}} \\ \\ \\ \\ <x,u_2>=(2,-3,1,27) \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{378}},-\frac{3}{\sqrt{378}},-\frac{13}{\sqrt{378}},\frac{14}{\sqrt{378}}\right) = \\ \\ \\ = \frac{4}{\sqrt{378}}+\frac{9}{\sqrt{378}}-\frac{13}{\sqrt{378}}+\frac{378}{\sqrt{378}} = \frac{378}{\sqrt{378}}

Morale della favola

\\ a=p_U(x)=<x,u_1>u_1+<x,u_2>u_2 = \\ \\ \\ = \frac{14}{\sqrt{14}}\left(\frac{2}{\sqrt{14}},-\frac{3}{\sqrt{14}},\frac{1}{\sqrt{14}},0\right)+ \\ \\ \\ \ \ \ \ \ +\frac{378}{\sqrt{378}}\left(\frac{2}{\sqrt{378}},-\frac{3}{\sqrt{378}},-\frac{13}{\sqrt{378}},\frac{14}{\sqrt{378}}\right)= \\ \\ \\ = (2,-3,1,0)+(2,-3,-13,14)=(4,-6,-12,14)

Infine

b=x-a=(2,-3,1,27)-(4,-6,-12,14)=(-2,3,13,13)

Per verificare che b è effettivamente ortogonale ad U basta controllare che sia nullo il prodotto scalare tra il vettore b ed i due vettori \{(2,-3,1,0),(2,-3,0,1)\} che formano una base per U:

\\ (-2,3,13,13) \cdot (2,-3,1,0) = -4-9+13+0=0 \\ \\ (-2,3,13,13) \cdot (2,-3,0,1) = -4-9+0+13=0

Infine, poiché le componenti del vettore a verificano entrambe le equazioni cartesiane che definiscono il sottospazio U possiamo concludere che a è parallelo ad U.

È tutto! emt
Ringraziano: Omega, CarFaby, Kronoa
  • Pagina:
  • 1
Os